механической энергии. Превращения энергии

Поскольку движение и взаимодействие взаимосвязаны (взаимодействие определяет движение материальных объектов, а движение объектов, в свою очередь, влияет на их взаимодействие), то должна быть единая мера, характеризующая движение и взаимодействие материи.

Энергия и является единой скалярной количественной мерой различных форм движения и взаимодействия материи. Различным формам движения и взаимодействия соответствуют различные виды энергии: механическая, внутренняя, электромагнитная, ядерная и т.д. Простейшим видом энергии, соответствующим простейшей - механической - форме движения и взаимодействия материи, является механическая энергия.

Одним из наиболее важных законов всего естествознания является всеобщий закон сохранения энергии . Он утверждает, что энергия не возникает ниоткуда и не исчезает бесследно, а лишь переходит из одной формы в другую.

Закон сохранения механической энергии есть частный случай всеобщего закона сохранения энергии.

Полная механическая энергия материальной точки (частицы) и системы частиц складывается из двух частей. Первая составляющая энергии частицы обуславливается ее движением, называется кинетической энергией и вычисляется по формуле

где m - масса частицы, - ее скорость.

Кинетическая энергия частицы изменяется, если при движении частицы на нее действует сила (силы), совершающая работу.

В простейшем случае, когда сила постоянна по величине и по направлению, а траектория движения прямолинейна, то работаA , совершаемая этой силой при перемещении
, определяется по формуле

где s - пройденный путь, равный при прямолинейном движении модулю перемещения
,
- скалярное произведение векторови
, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла
между ними.

Работа может быть положительной, если угол
острый (
90°), отрицательной, если угол
тупой (90°
180°), и может быть равна нулю если угол
прямой (
=90°).

Можно доказать, что изменение кинетической энергии
частицы при ее перемещении из точки 1 в точку 2 равно сумме работ, совершенных всеми силами, действующими на эту частицу, при данном перемещении:

, (6.13)

где
- кинетическая энергия частицы в начальной и в конечной точках,- работа, совершенная силой(i =1, 2, ... n ) при данном перемещении.

Кинетической энергией системы
изN частиц называется сумма кинетических энергий всех частиц системы. Ее изменение при любом изменении конфигурации системы, то есть произвольном перемещении частиц, равно суммарной работе
, совершенной всеми силами, действующими на частицы системы, при их перемещениях:

. (6.14)

Второй составляющей механической энергии является энергия взаимодействия, называемая потенциальной энергией. В механике понятие потенциальной энергии может быть введено не для любых взаимодействий, а лишь для определенного их класса.

Пусть в каждой точке пространства, где может находиться частица, на нее в результате взаимодействия с другими телами действует сила, зависящая только от координат x, y, z частицы и, возможно, от времени t :
. Тогда говорят, что частица находится в силовом поле взаимодействия с другими телами. Примеры: материальная точка, движущаяся в гравитационном поле Земли; электрон, движущийся в электростатическом поле неподвижного заряженного тела. В этих примерах сила, действующая на частицу, в каждой точке пространства от времени не зависит:
. Такие поля называются стационарными.

Если же, например, электрон будет находиться в электрическом поле конденсатора, напряжение между обкладками которого изменяется, то в каждой точке пространства сила будет зависеть и от времени:
. Такое поле называется нестационарным.

Сила, действующая на частицу, называется консервативной, а соответствующее поле – полем консервативной силы, если работа, совершаемая этой силой при перемещении частицы по произвольному замкнутому контуру, будет равна нулю.

К консервативным силам и соответствующим полям относятся сила всемирного тяготения и, в частности, сила тяжести (гравитационное поле), сила Кулона (электростатическое поле), сила упругости (поле сил, действующих на тело, прикрепленное к некоторой точке упругой связью).

Примерами неконсервативных сил являются сила трения, сила сопротивления среды движению тела.

Только для взаимодействий, которым соответствуют консервативные силы, может быть введено понятие потенциальной энергии.

Под потенциальной энергией
механической системы понимается величина, убыль которой (разность начального и конечного значений) при произвольном изменении конфигурации системы (изменении положения частиц в пространстве) равна работе
, совершаемой при этом всеми внутренними консервативными силами, действующими между частицами этой системы:

, (6.15)

где
- потенциальная энергия системы в начальной и конечной конфигурации.

Заметим, что убыль
равна с обратным знаком приращению (изменению)
потенциальной энергии и поэтому соотношение (6.15) можно записать в виде

. (6.16)

Такое определение потенциальной энергии системы частиц позволяет находить ее изменение при изменении конфигурации системы, но не само значение потенциальной энергии системы при заданной конфигурации. Поэтому во всех конкретных случаях уславливаются, при какой конфигурации системы (нулевой конфигурации) ее потенциальная энергия
принимается равной нулю (
). Тогда потенциальная энергия системы при любой ее конфигурации
, а из (6.15) следует, что

, (6.17)

то есть потенциальная энергия системы частиц некоторой конфигурации равна работе
, совершаемой внутренними консервативными силами при изменении конфигурации системы от данной до нулевой.

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести вблизи поверхности Земли, принимается равной нулю при нахождении тела на поверхности Земли. Тогда потенциальная энергия притяжения к Земле тела, находящегося на высоте h , равна работе силы тяжести
, совершаемой при перемещении тела с этой высоты на поверхность Земли, то есть на расстояниеh по вертикали:

Потенциальная энергия тела, прикрепленного к фиксированной точке упругой связью (пружиной), принимается равной нулю при недеформированной связи. Тогда потенциальная энергия упруго деформированной (растянутой или сжатой на величину
) пружины с коэффициентом жесткостиk равна

. (6.19)

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия материальных точек и электростатического взаимодействия точечных зарядов принимается равной нулю, если эти точки (заряды) удалены на бесконечное расстояние друг от друга. Поэтому энергия гравитационного взаимодействия материальных точек массами и
, находящихся на расстоянииr друг от друга, равна работе силы всемирного тяготения
, совершенной при изменении расстоянияx между точками от x=r до
:

. (6.20)

Из (6.20) следует, что потенциальная энергия гравитационного взаимодействия материальных точек при указанном выборе нулевой конфигурации (бесконечном удалении) оказывается отрицательной при размещении точек на конечном расстоянии друг от друга. Это связано с тем, что сила всемирного тяготения есть сила притяжения, и ее работа при удалении точек друг от друга отрицательна. Отрицательность потенциальной энергии означает, что при переходе этой системы из произвольной конфигурации в нулевую (при удалении точек с конечного расстояния на бесконечное) ее потенциальная энергия увеличивается.

Аналогично, потенциальная энергия электростатического взаимодействия точечных зарядов в вакууме равна

(6.21)

и отрицательна для притягивающихся разноименных зарядов (знаки иразличны) и положительна для отталкивающихся одноименных зарядов (знакииодинаковы).

Полной механической энергией системы (механической энергией системы)
называется сумма ее кинетической и потенциальной энергий

. (6.22)

Из (6.22) следует, что изменение полной механической энергии складывается из изменения ее кинетической и потенциальной энергии

Подставим в формулу (6.33) формулы (6.14) и (6.16). В формуле (6.14) общую работу
всех сил, действующих на точки системы, представим как сумму работы сил, внешних по отношению к рассматриваемой системе,
и работы внутренних сил, которая, в свою очередь, складывается из работы внутренних консервативных и неконсервативных сил,

:

После подстановки получим, что

Для замкнутой системы
0. Если система к тому же консервативна, то есть в ней действуют только внутренние консервативные силы, то и
=0. В этом случае уравнение (6.24) принимает вид
, а это означает, что

Уравнение (6.2) есть математическая запись закона сохранения механической энергии, который гласит: полная механическая энергия замкнутой консервативной системы постоянна, то есть не изменяется со временем.

Условие
0 выполняется, если в системе действуют и неконсервативные силы, но их работа равна нулю, как, например, при наличии сил трения покоя. В этом случае для замкнутой системы закон сохранения механической энергии также применим.

Отметим, что при
отдельные слагаемые механической энергии: кинетическая и потенциальная энергия, - не обязаны оставаться постоянными. Они могут изменяться, что сопровождается совершением работы консервативными внутренними силами, но изменения потенциальной и кинетической энергии
и
равны по модулю и противоположны по знаку. Например, за счет совершения внутренними консервативными силами работы над частицами системы ее кинетическая энергия возрастет, но при этом на равную величину уменьшится ее потенциальная энергия.

Если же в системе совершают работу неконсервативные силы, то это обязательно сопровождается взаимными превращениями механической и иных видов энергии. Так, совершение работы неконсервативными силами трения скольжения или сопротивления среды обязательно сопровождается выделением тепла, то есть переходом части механической энергии во внутреннюю (тепловую) энергию. Неконсервативные силы, работа которых приводит к переходу механической энергии в тепловую, называются диссипативными, а сам процесс перехода механической энергии в тепловую - диссипацией механической энергии.

Есть множество неконсервативных сил, работа которых, напротив, ведет к увеличению механической энергии системы за счет иных видов энергии. Например, в результате химических реакций происходит взрыв снаряда; при этом осколки получают прибавку механической (кинетической) энергии за счет работы неконсервативной силы давления расширяющихся газов - продуктов взрыва. В этом случае посредством совершения работы неконсервативных сил произошел переход химической энергии в механическую. Схема взаимных превращений энергии при совершении работы консервативными и неконсервативными силами представлена на рисунке 6.3.

Таким образом, работа есть количественная мера превращения одних видов энергии в другие. Работа консервативных сил равна количеству потенциальной энергии, перешедшей в кинетическую или наоборот (общая механическая энергия при этом не изменяется), работа неконсервативных сил равна количеству механической энергии, перешедшей в другие виды энергии или наоборот.

Рисунок 6.3 - Схема превращений энергии.

Всеобщий закон сохранения энергии фактически есть закон неуничтожимости движения в природе, а закон сохранения механической энергии - закон неуничтожимости механического движения при определенных условиях. Изменение же механической энергии при невыполнении этих условий не означает уничтожения движения или его появления ниоткуда, а свидетельствует о превращении одних форм движения и взаимодействия материи в другие.

Обратим внимание на отличие обозначений бесконечно малых величин. Например, dx обозначает бесконечно малое приращение координаты,
- скорости,dE – энергии, а бесконечно малую работу обозначают
. Это отличие имеет глубокий смысл. Координаты и скорость частицы, ее энергия и многие другие физические величины являются функциями состояния частицы (системы частиц), то есть определяются текущим состоянием частицы (системы частиц) и не зависят от того, какими были предшествующие состояния, и от того, каким способом частица (система) пришла в текущее состояние. Изменение такой величины можно представить как разность значений этой величины в конечном и начальном состояниях. Бесконечно малое изменение такой величины (функции состояния) называется полным дифференциалом и для величиныX обозначается dX .

Такие же величины, как работа или количество теплоты, характеризуют не состояние системы, а способ, которым был реализован переход из одного состояния системы в другое. Например, говорить о наличии работы у системы частиц в каком-то заданном состоянии бессмысленно, но можно говорить о работе, совершенной силами, действующими на систему, при ее переходе из одного состояния в другое. Таким образом, не имеет смысла говорить и о разности значений такой величины в конечном и начальном состояниях. Бесконечно малое количество величины Y , не являющейся функцией состояния, обозначается
.

Отличительным признаком функций состояния является то, что их изменения в процессах, в которых система, выйдя из исходного состояния, в него же и возвращается, равны нулю. Механическое состояние системы частиц задается их координатами и скоростями. Поэтому, если в результате некоторого процесса механическая система возвращается в исходное состояние, то координаты и скорости всех частиц системы принимают первоначальные значения. Механическая энергия, как величина, зависящая только от координат и скоростей частиц, также примет исходное значение, то есть не изменится. В то же время работа, совершенная силами, действующими на частицы, будет отлична от нуля, причем ее значение может быть разным в зависимости от вида траекторий, описанных частицами системы.

В общем случае тело обладает одновременно как кинетической, так и потенциальной энергией. Их сумму называют полной механической энергией :

E = E к + E п (15.1)

Это понятие было введено в 1847 г. 26-летним немецким ученым Г. Гельмгольцем.

Что происходит с полной механической энергией по мере движения тела? Чтобы выяснить это, рассмотрим простое явление.

Бросим вертикально вверх мяч. Придав мячу скорость, мы тем самым сообщим ему некоторую кинетическую энергию. По мере движения мяча вверх его движение будет замедляться притяжением Земли и скорость, а вместе с ней и кинетическая энергия мяча будут становиться все меньше и меньше. Потенциальная же энергия мяча вместе с высотой h будет при этом возрастать. В высшей точке траектории (на максимальной высоте) потенциальная энергия мяча достигнет своего наибольшего значения, а кинетическая энергия окажется равной нулю. После этого мяч начнет падать вниз, постепенно набирая скорость. Кинетическая энергия при этом начнет увеличиваться, а потенциальная энергия (из-за уменьшения высоты) - убывать. В момент удара о землю кинетическая энергия мяча достигнет максимального значения, а потенциальная энергия обратится в нуль.

Итак, когда кинетическая энергия тела уменьшается, потенциальная энергия возрастает, и наоборот, когда кинетическая энергия тела увеличивается, его потенциальная энергия убывает. Изучение свободного падения тела (в отсутствие сопротивления воздуха) показывает, что всякое уменьшение одного из этих видов энергии сопровождается равным увеличением другого вида энергии. Полная же механическая энергия тела при этом сохраняется. В этом состоит закон сохранения механической энергии :

Полная механическая энергия тела, на которое не действуют силы трения и сопротивления, в процессе его движения остается неизменной.

Если обозначить начальную и конечную энергии тела через E и E", то закон сохранения энергии можно выразить в виде следующего равенства:

Предположим, что свободно движущееся тело в начальный момент времени находилось на высоте h0 и имело при этом скорость v0. Тогда его полная механическая энергия в этот момент времени была равна

Если спустя некоторое время рассматриваемое тело окажется на высоте h, имея скорость v (рис. 28), то его полная механическая энергия станет равной

Согласно закону сохранения энергии, оба эти значения энергии должны совпадать. Поэтому

Если начальные значения h0 и v0 известны, то это уравнение позволяет найти скорость тела v на высоте h или, наоборот, высоту h, на которой тело будет иметь заданную скорость v. Масса тела при этом никакой роли играть не будет, так как в уравнении (15.5) она сокращается.


Следует помнить, что полная механическая энергия сохраняется лишь тогда, когда отсутствуют силы трения и сопротивления. Если же эти силы присутствуют, то их действие приводит к уменьшению механической энергии.

1. Что называют полной механической энергией? 2. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. 3. С какой энергией - кинетической или потенциальной - совпадает полная механическая энергия свободно падающего тела в момент удара о землю? 4. С какой энергией совпадает полная механическая энергия брошенного вертикально вверх мяча в момент, когда он оказывается в высшей точке своего полета? 5. Что происходит с полной механической энергией тела при наличии сил трения и сопротивления?

Энегрия - наиболее универсальная величина для описания физических явлений.
Энергия - максимальное количество работы, которое способно совершить тело.
Есть несколько видов энергии. Например, в механике:

Потенциальная энергия тяготения,
определяется высотой h .

- Потенциальная энергия упругой деформации,
определяется величиной деформации х .

- Кинетическая энергия - энергия движения тел,
определяется скоростью тела v .

Энергия может передаваться от одних тел к другим, а также превращаться из одного вида в другой.

- Полная механическая энергия.

Закон сохранения энергии : в замкнутой системе тел полная энергия не изменяется при любых взаимодействиях внутри этой системы тел. Закон накладывает ограничения на протекание процессов в природе. Природа не допускает появление энергии ниоткуда и исчезание в никуда. Возможно оказывается только так: сколько одно тело теряет энергии, столько другое приобретает; сколько убывает одного вида энергии, столько к другому виду прибавляется.
В механике для определения видов энергии необходимо обратить внимание на три величины: высоту подъема тела над Землей h, деформацию х , скорость тела v .

Гл.2-3, §9-11

План лекции

Работа и мощность

Закон сохранения импульса.

Энергия. Потенциальная и кинетическая энергии. Закон сохранения энергии.

1. Работа и мощность

Когда под действием некоторой силы тело совершает перемещение, то действие силы характеризуется величиной, которая называется механической работой.

Механическая работа - мера действия силы, в результате которого тела совершают перемещение.

Работа постоянной силы. Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы , составляющей некоторый угол  с направлением перемещения (рис.1), работа равна произведению этой силы на перемещение точки приложения силы и на косинус угла  между векторами и ; или работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

Работа переменной силы. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число малых участков так, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую в любой точке данного участка силу - постоянной.

Элементарная работа (т.е. работа на элементарном участке ) равна , а вся работа переменной силы на всем пути S находится интегрированием: .

В качестве примера работы переменной силы рассмотрим работу, совершаемую при деформации (растяжении) пружины, подчиняющейся закону Гука.

Если начальная деформация x 1 =0, то .

При сжатии пружины совершается такая же работа.

Графическое изображение работы (рис.3).

На графиках работа численно равна площади заштрихованных фигур.

Для характеристики быстроты совершения работы вводят понятие мощности.

Мощность постоянной силы численно равна работе, совершаемой этой силой за единицу времени.

1 Вт- это мощность силы, которая за 1 с совершает 1 Дж работы.

В случае переменной мощности (за малые одинаковые промежутки времени совершается различная работа) вводится понятие мгновенной мощности:

где
скорость точки приложения силы.

Т.о. мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки её приложения.

Т.к.

2. Закон сохранения импульса.

Механической системой называется совокупность тел, выделенная для рассмотрения. Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать, как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствие с этим силы, действующие на тела системы, подразделяют на внутренние и внешние.

Внутренними называются силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой

Внешними называются силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих данной системе.

Замкнутой (или изолированной) называется система тел, на которую не действуют внешние силы.

Для замкнутых систем оказываются неизменными (сохраняются) три физических величины: энергия, импульс и момент импульса. В соответствии с этим имеют место три закона сохранения: энергии, импульса, момента импульса.

Рассмотрим систему, состоящую из 3-х тел, импульсы которых
и на которые действуют внешние силы (рис. 4).Согласно 3 закону Ньютона, внутренние силы попарно равны и противоположно направлены:

Внутренние силы:

Запишем основное уравнение динамики для каждого из этих тел и сложим почленно эти уравнения

Для N тел:

.

Сумма импульсов тел, составляющих механическую систему, называется импульсом системы:

Т.о., производная по времени импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему,

Для замкнутой системы
.

Закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Из этого закона следует неизбежность отдачи при стрельбе из любого орудия. Пуля или снаряд в момент выстрела получают импульс, направленный в одну сторону, а винтовка или орудие получают импульс, направленный противоположно. Для уменьшения этого эффекта применяют специальные противооткатные устройства, в которых кинетическая энергия орудия превращается в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию противооткатного устройства.

Закон сохранения импульса лежит в основе движения судов (подводных лодок) при помощи гребных колес и винтов, и водометных судовых двигателей (насос всасывает забортную воду и отбрасывает ее за корму). При этом некоторое количество воды отбрасывается назад, унося с собой определенный импульс, а судно приобретает такой же импульс, направленный вперед. Этот же закон лежит в основе реактивного движения.

Абсолютно неупругий удар - столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. При таком ударе механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю энергию соударяющихся тел, т.е. закон сохранения энергии не выполняется, выполняется только закон сохранения импульса.

,

Теория абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов используется в теоретической механике для расчета напряжений и деформаций, вызванных в телах ударными силами. При решении многих задач удара часто опираются на результаты разнообразных стендовых испытаний, анализируя и обобщая их. Теория удара широко используется при расчетах взрывных процессов; применяется в физике элементарных частиц при расчетах столкновений ядер, при захвате частиц ядрами и в других процессах.

Большой вклад в теорию удара внёс российский академик Я.Б.Зельдович, который, разрабатывая в 30-х годах физические основы баллистики ракет, решил сложную задачу удара тела, летевшего с большой скоростью по поверхности среды.

Суммарная механическая энергия системы () — это энергия механического энергия и взаимодействия:

где — кинетическая энергия тела; — потенциальная энергия тела.

Закон сохранения энергии создан в результате обобщения эмпирических данных. Идея такого закона принадлежала М.В. Ломоносову, который представил закон сохранения материи и движения. Количественно закон сформулировали немецкий врач Ю. Майер и ученый — естествоиспытатель. Гельмгольц.

Формулировка закона сохранения механической энергии

Если в системе тел действуют исключительно силы, которые являются консервативными, то суммарная механическая энергия остается неизменной во времени. (Консервативными (потенциальными) называют силы, работа которых не зависит: от вида траектории, точки к которой приложены данные силы, закона, который описывает движение этого тела, и определено исключительно начальной и конечной точками траектории движения тела (материальной точки)).

Механические системы, в которых действуют исключительно консервативные силы, называют консервативными системами.

Еще одной формулировкой закона сохранения механической энергии считают следующую:

Для консервативных систем суммарная механическая энергия системы величина неизменная.

Математическая формулировка закона сохранения механической энергии имеет вид:

Значение закона сохранения механической энергии

Данный закон связан со свойством однородности времени. Что означает инвариантность законов физики относительно выбора начала временного отсчета.

В диссипативных системах механическая энергия уменьшается, так как происходит преобразование механической энергии в немеханические ее виды. Такой процесс называют рассеянием (диссипацией) энергии.

В консервативных системах полная механическая энергия постоянна. Происходят переходы кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Следовательно, закон сохранения механической энергии отражает не только сохранение энергии количественно, но указывает на качественную сторону взаимного превращения разных форм движения друг в друга.

Закон сохранения и превращения энергии является фундаментальным законом природы. Он выполняется и в макро и микро мире.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Тело массы упало с высоты на площадку, прикрепленную к пружине с коэффициентом упругости (рис.1). Каково смещение пружины ()?
Решение	За ноль потенциальной энергии примем положение площадки до падения на нее груза. Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту ,переходит в потенциальную энергию сжатой пружины. Запишем закон сохранения энергии системы тело — пружина: Получили квадратное уравнение: Решая квадратное уравнение получим:
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Объясните, почему говорят о всеобщем характере закона сохранения энергии, но известно, что при наличии неконсервативных сил в системе механическая энергия убывает.

Решение

Если сил трения в системе нет, то закон сохранения механической энергии выполняется, то есть полная механическая энергия не изменяется во времени. При действии сил трения, механическая энергия убывает, но при этом увеличивается внутренняя энергия. С развитием физики как науки были обнаружены новые виды энергии (световая энергия, электромагнитная энергия, химическая энергия, ядерная энергия). Было выяснено, что если над телом совершается работа, то она равна приращению суммы всех видов энергии тела. Если тело само совершает работу, над другими телами, то эта работа равна убыли суммарной энергии этого тела. Все виды энергии переходят из одного вида в другой. Причем, при всех переходах суммарная энергия остается неизменной. В этом и состоит всеобщность закона сохранения энергии.