സാധ്യമായ കോമ്പിനേഷനുകൾ. ടാഗ് ആർക്കൈവുകൾ: സാധ്യമായ കോമ്പിനേഷനുകൾ
ശീതകാലം അടുത്തു, ഖോമയും സുസ്ലിക്കും പീസ് സംഭരിക്കാൻ തീരുമാനിച്ചു. ദിവസം മുഴുവൻ അവർ കളപ്പുരയിലേക്ക് ഓടി, നിരവധി കായ്കൾ വഹിച്ചു: ഖോമ, നാല്, സുസ്ലിക്ക്, രണ്ട്. വൈകുന്നേരത്തോടെ, അവർ വിളവെടുത്ത എല്ലാ കായ്കളും എണ്ണി, ഈ പയറുകളെ ഇപ്പോൾ എങ്ങനെ വിഭജിക്കാം എന്ന് അവർ ചിന്തിച്ചു. ഒരു സമയം സുസ്ലിക്കിൻ്റെ ഇരട്ടി വലിച്ചാൽ ഇരട്ടി കടല കിട്ടണമെന്ന് ഖോമ വാദിച്ചു. സുസ്ലിക്ക് ഇതിനെ ന്യായമായും എതിർത്തു, ഒന്നാമതായി, ഖോമയുടെ വേഗത സുസ്ലിക്കിനെക്കാൾ വളരെ കുറവാണ്, രണ്ടാമതായി, ആർക്കറിയാം, ഒരുപക്ഷേ ഒന്നോ രണ്ടോ തവണ മാത്രമേ ഖോമ ഓടിപ്പോയിട്ടുള്ളൂ, ബാക്കി സമയം അവൻ വെറുതെയിരിക്കുകയായിരുന്നു ...
ഈ വിഷമകരമായ സാഹചര്യം അൽപ്പമെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങളുടെ സുഹൃത്തുക്കളെ സഹായിക്കുക. സുസ്‌ലിക് എത്ര പോഡുകൾ കൊണ്ടുവന്നു, എത്ര ഖോമ എന്നിവയ്ക്കുള്ള സാധ്യമായ എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളും നിർണ്ണയിക്കുക.
ഇൻപുട്ട് ഡാറ്റ
ആദ്യ വരിയിൽ ഒരു സ്വാഭാവിക ഇരട്ട സംഖ്യയുണ്ട് - മോഷ്ടിച്ച പോഡുകളുടെ എണ്ണം, 2 ≤ M ≤ 1000.
ഔട്ട്പുട്ട്
സുസ്ലിക്കും ഖോമയും കൊണ്ടുവന്ന കായ്കളുടെ അളവിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകളും, ഓരോ വരിയിലും ഒരു കോമ്പിനേഷൻ. ഓരോ കോമ്പിനേഷനും ഒരു സ്പേസ് കൊണ്ട് വേർതിരിച്ച രണ്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: ആദ്യ സംഖ്യ സുസ്ലിക്ക് കൊണ്ടുവന്ന പോഡുകളുടെ എണ്ണമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് - ഖോമ കൊണ്ടുവന്നതാണ്. ആദ്യ സംഖ്യയുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ കോമ്പിനേഷനുകൾ അടുക്കുക.
ടെസ്റ്റുകൾ
| ഇൻപുട്ട് ഡാറ്റ | ഔട്ട്പുട്ട് | |
| 6 | \\ 6 \; 0 \\ 2 \; 4 | |
| 11 | \\ 11\;0 \\ 7\;4 \\ 3\;8 | |
| 18 | \\ 18\;0 \\ 14\;4 \\ 10\;8 \\ 6\;12 \\ 2\;16 | |
പ്രോഗ്രാം കോഡ്
#ഉൾപ്പെടുന്നു നെയിംസ്പേസ് എസ്ടിഡി ഉപയോഗിക്കുന്നു; int main()( int a, b = 0; സിൻ >> എ ; അതേസമയം (a >= 0 ) ( കട്ട്<< a << " " << b << "\n" ; a -= 4 ; b += 4 ; തിരികെ 0; |
പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പരിഹാരം
ഹോമം കൊണ്ടുവന്ന കായ്കളുടെ എണ്ണം a എന്നും സുസ്ലിക്ക് കൊണ്ടുവന്ന കായ്കളുടെ എണ്ണം b ആയിരിക്കട്ടെ. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കനുസരിച്ച്, ഖോമ നാല് കായ്കൾ മാത്രമേ വഹിച്ചിരുന്നുള്ളൂ എന്നതിനാൽ, സുസ്ലിക്കും ഖോമയും കൊണ്ടുവന്ന കായ്കളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകളും കണക്കാക്കുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ a = a-4, b = b + 4 എന്നിവ പരിഗണിക്കും. നമുക്ക് ഒരു ലൂപ്പും ഉപയോഗിക്കാം സമയത്ത്, ഒരു \geq 0 വരെ മുകളിൽ വിവരിച്ച പ്രവർത്തനം ആവർത്തിക്കും. ഉത്തരത്തിൽ, സുഹൃത്തുക്കൾ കൊണ്ടുവന്ന പോഡുകളുടെ സംഖ്യകളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകളും ഞങ്ങൾ പ്രിൻ്റ് ചെയ്യുന്നു, ഓരോ വരിയിലും ഒന്ന്, ആദ്യ സംഖ്യയുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ.
പൊതുവായ രൂപത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള സാമ്പിളുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. കുറച്ച് സെറ്റ് ആവട്ടെ എൻ, അടങ്ങുന്ന എൻ ഘടകങ്ങൾ. അടങ്ങുന്ന ഏതെങ്കിലും ഉപവിഭാഗം എം ഘടകങ്ങൾ അവയുടെ ക്രമം കണക്കിലെടുക്കാതെയോ അല്ലെങ്കിൽ അത് കണക്കിലെടുക്കാതെയോ പരിഗണിക്കാം, അതായത്. ഓർഡർ മാറ്റുമ്പോൾ, മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറുക എം- സാമ്പിൾ.
നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്താം:
ആവർത്തനങ്ങളില്ലാതെ പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകൾ
ആവർത്തനം കൂടാതെ പ്ലേസ്മെൻ്റ്എൻ മൂലകങ്ങൾ വഴിഎം എൻഅടങ്ങുന്നഎംവിവിധ ഘടകങ്ങൾ.
മൂലകങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽപ്പോലും, രണ്ട് ക്രമീകരണങ്ങളും അവയുടെ ഘടകങ്ങളിലും അവയുടെ ക്രമത്തിലും പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.
സിദ്ധാന്തം 3. ആവർത്തനങ്ങളില്ലാത്ത പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകളുടെ എണ്ണം ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ് എം ഘടകങ്ങൾ, അതിൽ ഏറ്റവും വലുത് സംഖ്യയാണ് എൻ . എഴുതുക:
ആവർത്തനങ്ങളില്ലാത്ത ക്രമപ്പെടുത്തലുകൾ
മുതൽ ക്രമപ്പെടുത്തലുകൾഎൻ ഘടകങ്ങളെ ഒരു സെറ്റിൻ്റെ വ്യത്യസ്ത ക്രമങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നുഎൻ.
ഈ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, രണ്ട് പെർമ്യൂട്ടേഷനുകളും മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമത്തിൽ മാത്രമേ വ്യത്യാസമുള്ളൂവെന്നും അവയെ പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകളുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസായി കണക്കാക്കാമെന്നും പിന്തുടരുന്നു.
സിദ്ധാന്തം 4. ആവർത്തനങ്ങളില്ലാതെ വ്യത്യസ്ത ക്രമപ്പെടുത്തലുകളുടെ എണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു
ആവർത്തനങ്ങളില്ലാത്ത കോമ്പിനേഷനുകൾ
ആവർത്തനമില്ലാത്ത ഒരു കോമ്പിനേഷൻഎൻ മൂലകങ്ങൾ വഴിഎം ഒരു സെറ്റിൻ്റെ ക്രമരഹിതമായ ഏതെങ്കിലും ഉപഗണത്തെ വിളിക്കുന്നുഎൻഅടങ്ങുന്നഎം വിവിധ ഘടകങ്ങൾ.
നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, രണ്ട് കോമ്പിനേഷനുകളും ഘടകങ്ങളിൽ മാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു; ക്രമം പ്രധാനമല്ല.
സിദ്ധാന്തം 5. ആവർത്തനങ്ങളില്ലാത്ത കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:
ഉദാഹരണം 1. മുറിയിൽ 5 കസേരകളുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് അവയിൽ എത്ര വിധത്തിൽ സ്ഥാപിക്കാനാകും?
a) 7 ആളുകൾ; ബി) 5 ആളുകൾ; സി) 3 പേർ?
പരിഹാരം: a) ഒന്നാമതായി, കസേരകളിൽ ഇരിക്കാൻ നിങ്ങൾ 7 ൽ നിന്ന് 5 പേരെ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. അത് ചെയ്യാം 
വഴി. ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട അഞ്ചെണ്ണം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കാൻ കഴിയും 
പുനഃക്രമീകരണങ്ങൾ. ഗുണന സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, ആവശ്യമായ ലാൻഡിംഗ് രീതികളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്.
അഭിപ്രായം:ഉൽപ്പന്ന സിദ്ധാന്തം മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നു: ഒന്നാമത്തെ കസേരയിൽ ഇരിക്കുന്നതിന് 7 ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, രണ്ടാമത്തെ കസേരയിൽ 6 ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, 3rd -5, 4th -4, 5-ൽ th -3. അപ്പോൾ 5 കസേരകളിൽ 7 പേരെ ഇരുത്താനുള്ള വഴികളുടെ എണ്ണം. രണ്ട് രീതികളുടെയും പരിഹാരങ്ങൾ സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്, കാരണം
b) പരിഹാരം വ്യക്തമാണ് - 
വി) 
- അധിനിവേശ കസേരകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പുകളുടെ എണ്ണം.
- തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂന്ന് കസേരകളിൽ മൂന്ന് ആളുകൾക്കുള്ള സീറ്റുകളുടെ എണ്ണം.
തെരഞ്ഞെടുപ്പുകളുടെ ആകെ എണ്ണം.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല 
;
;
അടങ്ങുന്ന ഒരു സെറ്റിൻ്റെ എല്ലാ ഉപവിഭാഗങ്ങളുടെയും എണ്ണം എൻഘടകങ്ങൾ.
ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകൾ
എന്നതിൽ നിന്ന് ആവർത്തനത്തോടെ സ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെഎൻ മൂലകങ്ങൾ വഴിഎം ഒരു സെറ്റിൻ്റെ ക്രമപ്പെടുത്തിയ എല്ലാ ഉപവിഭാഗങ്ങളെയും വിളിക്കുന്നുഎൻ, അടങ്ങുന്നഎം 1 മുതൽ ഈ ഉപഗണത്തിൽ ഏത് ഘടകവും ഉൾപ്പെടുത്താൻ കഴിയുംഎംചിലപ്പോൾ, അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണമായും വിട്ടുനിൽക്കുക.
ആവർത്തനത്തോടുകൂടിയ പ്ലേസ്‌മെൻ്റുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് 
ഗുണന സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലമായ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
ഉദാഹരണം 2. N = (a, b, c) എന്നത് മൂന്ന് അക്ഷരങ്ങളുടെ കൂട്ടമായിരിക്കട്ടെ. ഈ സെറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും അക്ഷരങ്ങളെ നമുക്ക് വാക്ക് എന്ന് വിളിക്കാം. ഈ അക്ഷരങ്ങളിൽ നിന്ന് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുന്ന ദൈർഘ്യം 2 വാക്കുകളുടെ എണ്ണം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: 
.
അഭിപ്രായം:വ്യക്തമായും, ആവർത്തനത്തോടുകൂടിയ പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകളും എപ്പോൾ പരിഗണിക്കാം 
.
ഉദാഹരണം 3. ദൈർഘ്യമുള്ള എല്ലാ വാക്കുകളും സൃഷ്ടിക്കാൻ നിങ്ങൾ അക്ഷരങ്ങൾ (a, b) ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട് 3. ഇത് എത്ര വിധങ്ങളിൽ ചെയ്യാം?
ഉത്തരം:
ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയും മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളില്ലാതെയും പരിമിതമായ ഗണത്തിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമരഹിതമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പാണ് കോമ്പിനേഷൻ. വ്യത്യസ്ത കോമ്പിനേഷനുകൾ കുറഞ്ഞത് ഒരു മൂലകത്തിലെങ്കിലും വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കണം, കൂടാതെ മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമം പ്രശ്നമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങളുടെ (AEIOU) എല്ലാ സ്വരാക്ഷരങ്ങളുടെയും ഗണത്തിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് 3 അക്ഷരങ്ങളുടെ 10 വ്യത്യസ്ത കോമ്പിനേഷനുകൾ ഉണ്ടാക്കാം, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമരഹിതമായ ട്രിപ്പിൾസ് ഉണ്ടാക്കുന്നു:
AEI, AEO, AEU, AIO, AIU, AOU, EIO, EIU, EOU, IOU.
ഒരേ അഞ്ച് അക്ഷരങ്ങളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് 10 വ്യത്യസ്ത കോമ്പിനേഷനുകളും ഒരേസമയം 2 അക്ഷരങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമരഹിതമായ ജോഡികളാക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്:
AE, AI, AO, AU, EI, EO, EU, IO, IU, OU.
എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ ഒരേ സ്വരാക്ഷര ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങൾ 4 കൊണ്ട് കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന 5 വ്യത്യസ്ത കോമ്പിനേഷനുകൾ മാത്രമേ ലഭിക്കൂ:
AEIO, AEIU, AIOU, EIOU, AEOU.
പൊതുവേ, m മൂലകങ്ങളുടെ n വ്യത്യസ്ത മൂലകങ്ങളുടെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫങ്ഷണൽ, ഇൻഡക്സ് അല്ലെങ്കിൽ വെക്റ്റർ (ആപ്പൽ) പ്രതീകാത്മകത ഉപയോഗിക്കുന്നു:
നൊട്ടേഷൻ്റെ രൂപം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, m മൂലകങ്ങളുടെ n മൂലകങ്ങളുടെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണിതവും ഘടക സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാനാകും:
ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലം ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങളിലെ സ്വരാക്ഷരങ്ങളുടെ സംയോജനവുമായി മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, n=5, m=3 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലം നൽകും:
പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്ക് ഒരു സംയോജിത അർത്ഥമുണ്ട്, കൂടാതെ n, m എന്നിവയുടെ ഏത് പൂർണ്ണ മൂല്യങ്ങൾക്കും സാധുതയുണ്ട്, അതായത് n > m > 0. m > n ഉം m ഉം ആണെങ്കിൽ< 0, то число сочетаний равно 0, так как в этом случае основное множество из n элементов вообще не имеет подмножеств мощности m:
കൂടാതെ, ഇനിപ്പറയുന്ന പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന കോമ്പിനേഷനുകൾ ഓർമ്മിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്, അവ ഗുണനപരവും ഫാക്‌ടോറിയൽ ഫോർമുലകളിലേക്കും നേരിട്ട് പകരമായി എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും:
n ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായിരിക്കുമ്പോൾ പോലും, m ഒരു പൂർണ്ണ മൂല്യമായിരിക്കുന്നിടത്തോളം, ഗുണന സൂത്രവാക്യം സാധുവായിരിക്കുമെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, അത് ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ ഫലം, ഔപചാരിക സാധുത നിലനിർത്തുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ സംയോജിത അർത്ഥം നഷ്ടപ്പെടുന്നു.
കോമ്പിനേഷനുകളുടെ ഐഡൻ്റിറ്റികൾ
n, m എന്നിവയുടെ അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഗുണനപരവും ഫാക്‌ടോറിയൽ സൂത്രവാക്യങ്ങളും പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നത് അവയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെയും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെയും ഫാക്‌ടോറിയൽ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ വളർച്ച കാരണം ചെറിയ ഉൽപാദനക്ഷമതയായി മാറുന്നു. n, m എന്നിവയുടെ താരതമ്യേന ചെറിയ മൂല്യങ്ങൾക്ക് പോലും, ഈ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പലപ്പോഴും ആധുനിക കമ്പ്യൂട്ടിംഗ്, സോഫ്റ്റ്വെയർ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവുകൾ കവിയുന്നു. മാത്രമല്ല, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യത്തേക്കാൾ വളരെ വലുതായി മാറുന്നു, അത് താരതമ്യേന ചെറുതായിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, m=8 മൂലകങ്ങളുടെ n=10 കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം 45 മാത്രമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഫാക്‌ടോറിയൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം 10-ൻ്റെ വളരെ വലിയ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കണം! ന്യൂമറേറ്ററിലും 8-ലും! ഡിനോമിനേറ്ററിൽ:
വലിയ അളവിൽ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള സമയമെടുക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കാൻ, കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഗുണിതവും ഫാക്‌ടോറിയൽ സൂത്രവാക്യങ്ങളും നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്ന വിവിധ ആവർത്തന ബന്ധങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇനിപ്പറയുന്ന ആവർത്തന ബന്ധം ഗുണന സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, ഇത് കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിനപ്പുറം അതിൻ്റെ സൂചികകളുടെ അനുപാതം എടുക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:
അവസാനമായി, സബ്സ്ക്രിപ്റ്റ് സ്ഥിരമായി നിലനിർത്തുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന ആവർത്തന ബന്ധം നൽകുന്നു, ഇത് കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിനായുള്ള ഫാക്‌ടോറിയൽ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും:
പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂന്ന് ആവർത്തന ബന്ധങ്ങളെ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപങ്ങളിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
നമ്മൾ ഇപ്പോൾ ആദ്യത്തെ 2 ഫോർമുലകളുടെ ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ ചേർത്ത് ഫലം n കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു പ്രധാന ആവർത്തന ബന്ധം ലഭിക്കും, അതിനെ കോമ്പിനേഷൻ നമ്പറുകൾ ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ ഐഡൻ്റിറ്റി എന്ന് വിളിക്കുന്നു:
n, m എന്നിവയുടെ വലിയ മൂല്യങ്ങൾക്കുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം കാര്യക്ഷമമായി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന ആവർത്തന നിയമം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഐഡൻ്റിറ്റി നൽകുന്നു, കാരണം ഫാക്‌ടോറിയൽ ഉൽപ്പന്നങ്ങളിലെ ഗുണന പ്രവർത്തനങ്ങളെ ലളിതമായ സങ്കലന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഇത് അനുവദിക്കുന്നു, കൂടാതെ ചെറിയ കോമ്പിനേഷനുകൾക്കും. പ്രത്യേകിച്ചും, സങ്കലന ഐഡൻ്റിറ്റി ഉപയോഗിച്ച്, മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത m=8 മൂലകങ്ങളുടെ n=10 കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇപ്പോൾ എളുപ്പമാണ്, ആവർത്തിച്ചുള്ള പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമം നടപ്പിലാക്കുന്നതിലൂടെ:
കൂടാതെ, പരിമിതമായ തുകകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഉപയോഗപ്രദമായ ബന്ധങ്ങൾ സങ്കലന ഐഡൻ്റിറ്റിയിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരാം, പ്രത്യേകിച്ചും, സബ്സ്ക്രിപ്റ്റ് പ്രകാരമുള്ള സംഗ്രഹത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം, അതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം ഉണ്ട്:
സങ്കലന ഐഡൻ്റിറ്റിയിൽ ഏറ്റവും വലിയ സൂപ്പർസ്ക്രിപ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ആവർത്തനത്തെ വിപുലീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ ബന്ധം ലഭിക്കും, അതേസമയം അതിൻ്റെ സബ്സ്ക്രിപ്റ്റ് 0-ൽ കൂടുതലാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യാ ഉദാഹരണം ഈ ആവർത്തന പരിവർത്തന പ്രക്രിയയെ വ്യക്തമാക്കുന്നു:
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ശക്തികളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കാൻ സബ്സ്ക്രിപ്റ്റ് സമ്മേഷൻ ഫോർമുല പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, m=1 അനുമാനിക്കുക, ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സ്വാഭാവിക ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ n സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്:
ഏറ്റവും ചെറിയ സൂപ്പർസ്ക്രിപ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് സങ്കലന ഐഡൻ്റിറ്റിയുടെ ആവർത്തനം വിപുലീകരിക്കുന്നതിലൂടെ സംഗ്രഹ ഫോർമുലയുടെ മറ്റൊരു ഉപയോഗപ്രദമായ പതിപ്പ് ലഭിക്കും. ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യാ ഉദാഹരണം ആവർത്തിച്ചുള്ള പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഈ പതിപ്പ് വ്യക്തമാക്കുന്നു:
പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, കോമ്പിനേഷനുകളുടെ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ലഭിക്കുന്നു, ഇവയുടെ രണ്ട് സൂചികകളും അയൽ പദങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒന്നായി വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ സൂചികകളിലെ വ്യത്യാസം സ്ഥിരമായി തുടരുന്നു (പരിശോധിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇത് ഒന്നിന് തുല്യവും). അങ്ങനെ, കോമ്പിനേഷൻ നമ്പറുകളുടെ രണ്ട് സൂചികകൾക്കും ഇനിപ്പറയുന്ന സംഗ്രഹ സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു:
മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ആവർത്തന ബന്ധങ്ങൾക്കും സമ്മേഷൻ ഫോർമുലകൾക്കും പുറമേ, സംയോജിത സംഖ്യകൾക്കുള്ള ഉപയോഗപ്രദമായ മറ്റ് പല ഐഡൻ്റിറ്റികളും സംയോജിത വിശകലനത്തിൽ ലഭിച്ചിട്ടുണ്ട്. അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത് സമമിതി ഐഡൻ്റിറ്റി, ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:
സമമിതി ഐഡൻ്റിറ്റിയുടെ സാധുത ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ 5 മൂലകങ്ങളുടെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ സംഖ്യകളെ 2 ആയും (5 2) = 3 ആയും താരതമ്യം ചെയ്തുകൊണ്ട് പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്:
സമമിതി ഐഡൻ്റിറ്റിക്ക് വ്യക്തമായ സംയോജിത അർത്ഥമുണ്ട്, കാരണം, n മൂലകങ്ങളിൽ നിന്ന് m മൂലകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിലൂടെ, അത് ഒരേസമയം ശേഷിക്കുന്ന (nm) തിരഞ്ഞെടുക്കാത്ത മൂലകങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം സ്ഥാപിക്കുന്നു. കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിനായുള്ള ഫാക്‌ടോറിയൽ ഫോർമുലയിൽ m (nm) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ സൂചിപ്പിച്ച സമമിതി ഉടനടി ലഭിക്കും:
ആധുനിക കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്‌സിൻ്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ അക്കങ്ങളും കോമ്പിനേഷൻ ഐഡൻ്റിറ്റികളും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, അവരുടെ ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ ന്യൂട്ടൻ്റെ ബൈനോമിയലും പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
ബൈനോമിയൽ സിദ്ധാന്തം
വിവിധ ഗണിത പരിവർത്തനങ്ങളും കണക്കുകൂട്ടലുകളും നടത്താൻ, ഒരു ബീജഗണിത ബൈനോമിയലിൻ്റെ (ബൈനോമിയൽ) ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക ശക്തിയെ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് പ്രധാനമാണ്. ചെറിയ ശക്തികൾക്ക്, ബൈനോമിയലുകൾ നേരിട്ട് ഗുണിച്ചാൽ ആവശ്യമുള്ള പോളിനോമിയൽ എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും. പ്രത്യേകിച്ചും, രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ചതുരത്തിനും ക്യൂബിനും വേണ്ടിയുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്ന് നന്നായി അറിയാം:
പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ബൈനോമിയലിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ ഡിഗ്രി n ന്, ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ആവശ്യമായ പ്രാതിനിധ്യം ന്യൂട്ടൻ്റെ ബൈനോമിയൽ സിദ്ധാന്തം നൽകുന്നു, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം ശരിയാണെന്ന് പ്രഖ്യാപിക്കുന്നു:
ഈ സമത്വത്തെ സാധാരണയായി ന്യൂട്ടൻ്റെ ദ്വിപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇടതുവശത്തുള്ള ബൈനോമിയലിൻ്റെ n പദങ്ങളുടെ X, Y എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ് അതിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള പോളിനോമിയൽ രൂപപ്പെടുന്നത്, അവയ്ക്ക് മുന്നിലുള്ള ഗുണകങ്ങളെ ബൈനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവ സൂചികകളുമായുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. അവരുടെ ശക്തികളിൽ നിന്നാണ് ലഭിക്കുന്നത്. സംയോജിത വിശകലനത്തിൽ ന്യൂട്ടൻ്റെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുലയുടെ പ്രത്യേക ജനപ്രീതി കണക്കിലെടുത്ത്, ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്, കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം എന്നിവ പൊതുവെ പര്യായമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.
വ്യക്തമായും, സ്ക്വയർ, ക്യൂബ്ഡ് സം ഫോർമുലകൾ യഥാക്രമം n=2, n=3 എന്നിവയ്ക്കുള്ള ബൈനോമിയൽ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക കേസുകളാണ്. ഉയർന്ന ഡിഗ്രികൾ (n>3) കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ, ന്യൂട്ടൻ്റെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണം. നാലാം ഡിഗ്രി ബൈനോമിയലിനുള്ള (n=4) അതിൻ്റെ പ്രയോഗം ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിലൂടെ പ്രകടമാക്കുന്നു:
അറബ് ഈസ്റ്റിലെയും പടിഞ്ഞാറൻ യൂറോപ്പിലെയും മധ്യകാല ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ന്യൂട്ടണിന് മുമ്പുതന്നെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുല അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അതിനാൽ, അതിൻ്റെ പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട പേര് ചരിത്രപരമായി ശരിയല്ല. ന്യൂട്ടൻ്റെ യോഗ്യത, അദ്ദേഹം ഈ ഫോർമുലയെ ആർബിട്രറി റിയൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് r-ൻ്റെ കാര്യത്തിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിച്ചു എന്നതാണ്, അത് പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം. പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, അത്തരമൊരു ന്യൂട്ടൺ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുലയ്ക്ക് വലതുവശത്ത് അനന്തമായ തുകയുണ്ട്, സാധാരണയായി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു:
ഉദാഹരണത്തിന്, ദ്വിപദ ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഘാതം r=1/2 ൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന വികാസം ലഭിക്കും:
പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും എക്‌സ്‌പോണൻ്റിനു വേണ്ടിയുള്ള ന്യൂട്ടൻ്റെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുല മക്ലൗറിൻ ഫോർമുലയുടെ ഒരു പ്രത്യേക പതിപ്പാണ്, ഇത് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ഫംഗ്‌ഷനെ ഒരു പവർ സീരീസായി വികസിപ്പിക്കുന്നു. |z| എന്നതിനായി ന്യൂട്ടൺ അത് കാണിച്ചു< 1 этот ряд сходится, и сумма в правой части становится конечной. При любой натуральной степени r = n в правой части также получается конечная сумма из (n+1) первых слагаемых, так как все C(n, k>n) = 0 . നമ്മൾ ഇപ്പോൾ Z=X/Y സജ്ജീകരിച്ച് ഇടതും വലതും Yn കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ന്യൂട്ടൺ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുലയുടെ ഒരു പതിപ്പ് നമുക്ക് ലഭിക്കും.
സാർവത്രികത ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, ബൈനോമിയൽ സിദ്ധാന്തം അതിൻ്റെ സംയോജിത അർത്ഥം നിലനിർത്തുന്നത് ദ്വിപദത്തിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ ശക്തികൾക്ക് മാത്രമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായ നിരവധി ഐഡൻ്റിറ്റികൾ തെളിയിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാം. പ്രത്യേകിച്ചും, കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം സബ്സ്ക്രിപ്റ്റ് മുഖേനയും രണ്ട് സൂചികകളിലൂടെയും സംഗ്രഹിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മുകളിൽ ചർച്ചചെയ്തു. ന്യൂട്ടൻ്റെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് X = Y = 1 അല്ലെങ്കിൽ Z = 1 ഇട്ടുകൊണ്ട് മിസ്സിംഗ് സൂപ്പർസ്ക്രിപ്റ്റ് സമ്മേഷൻ ഐഡൻ്റിറ്റി എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും:
മറ്റൊരു ഉപയോഗപ്രദമായ ഐഡൻ്റിറ്റി ഇരട്ട, ഒറ്റ സംഖ്യകളുള്ള ദ്വിപദ ഗുണകങ്ങളുടെ തുകകളുടെ തുല്യത സ്ഥാപിക്കുന്നു. X = 1 ഉം Y = 1 അല്ലെങ്കിൽ Z = 1 ആണെങ്കിൽ ന്യൂട്ടൻ്റെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഇത് ഉടനടി ലഭിക്കും:
അവസാനമായി, പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികളിൽ നിന്നും നമുക്ക് ഇരട്ട സംഖ്യകളോ ഒറ്റ സംഖ്യകളോ ഉള്ള ദ്വിപദ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഐഡൻ്റിറ്റി ലഭിക്കും:
പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഐഡൻ്റിറ്റികളും കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നിന്ന് സൂചികകൾ നീക്കം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ആവർത്തിച്ചുള്ള നിയമവും അടിസ്ഥാനമാക്കി, രസകരമായ നിരവധി ബന്ധങ്ങൾ ലഭിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, സൂപ്പർസ്ക്രിപ്റ്റ് സമ്മേഷൻ ഫോർമുലയിൽ n എല്ലായിടത്തും (n1) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ഓരോ ടേമിലെയും സൂചികകൾ നീക്കം ചെയ്യുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം ലഭിക്കും:
ഇരട്ട, ഒറ്റ സംഖ്യകളുള്ള ബൈനോമിയൽ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുലയിൽ സമാനമായ ഒരു സാങ്കേതികത ഉപയോഗിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധത്തിൻ്റെ സാധുത തെളിയിക്കാൻ സാധിക്കും:
മറ്റൊരു ഉപയോഗപ്രദമായ ഐഡൻ്റിറ്റി, ഇനിപ്പറയുന്ന Cauchy ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അനിയന്ത്രിതമായ ഡിഗ്രി n, k എന്നിവയുടെ രണ്ട് ബൈനോമിയലുകളുടെ സമമിതിയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ബൈനോമിയൽ ഗുണകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:
ഈ ഫോർമുലയുടെ സാധുത ഇനിപ്പറയുന്ന സമാന ബന്ധത്തിൻ്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങളിലുള്ള Z വേരിയബിളിൻ്റെ ഏത് ഡിഗ്രി m നും ആവശ്യമായ ഗുണകങ്ങളുടെ തുല്യതയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു:
പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ n=k=m, സമമിതി ഐഡൻ്റിറ്റി കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ദ്വിപദ ഗുണകങ്ങളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് കൂടുതൽ ജനപ്രിയമായ ഒരു ഫോർമുല ലഭിക്കും:
ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായ മറ്റ് പല ഐഡൻ്റിറ്റികളും സംയോജിത വിശകലനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിപുലമായ സാഹിത്യത്തിൽ കാണാം. എന്നിരുന്നാലും, അവരുടെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ പ്രായോഗിക പ്രയോഗം പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണം
പാസ്കലിൻ്റെ ഗണിത ത്രികോണം ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളാൽ നിർമ്മിച്ച അനന്തമായ സംഖ്യാ പട്ടിക ഉണ്ടാക്കുന്നു. അതിൻ്റെ വരികൾ മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്കുള്ള ബൈനോമിയലുകളുടെ ശക്തിയാൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഓരോ വരിയിലും, ബൈനോമിയൽ ഗുണകങ്ങൾ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് അനുബന്ധ കോമ്പിനേഷൻ നമ്പറുകളുടെ സൂപ്പർസ്ക്രിപ്റ്റുകളുടെ ആരോഹണ ക്രമത്തിലാണ് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണം സാധാരണയായി ഐസോസിലിസ് അല്ലെങ്കിൽ ദീർഘചതുരാകൃതിയിലാണ് എഴുതുന്നത്.
കൂടുതൽ ദൃശ്യപരവും പൊതുവായതുമായ ഐസോസിലിസ് ഫോർമാറ്റാണ്, അവിടെ ദ്വിപദ ഗുണകങ്ങൾ, സ്തംഭനാവസ്ഥയിലായി, അനന്തമായ ഐസോസിലിസ് ത്രികോണമായി മാറുന്നു. നാലാമത്തെ ഡിഗ്രി (n=4) വരെയുള്ള ദ്വിപദങ്ങൾക്കുള്ള അതിൻ്റെ പ്രാരംഭ ശകലത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
പൊതുവേ, പാസ്കലിൻ്റെ ഐസോസിലിസ് ത്രികോണം ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളെ നിർണയിക്കുന്നതിന് സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു ജ്യാമിതീയ നിയമം നൽകുന്നു, ഇത് സങ്കലനത്തിൻ്റെ ഐഡൻ്റിറ്റികളെയും സംഖ്യ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ സമമിതിയെയും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, സങ്കലന ഐഡൻ്റിറ്റി അനുസരിച്ച്, ഏത് ദ്വിപദ ഗുണകവും അതിനോട് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള മുൻ നിരയിലെ രണ്ട് ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. സമമിതി ഐഡൻ്റിറ്റി അനുസരിച്ച്, പാസ്കലിൻ്റെ ഐസോസിലിസ് ത്രികോണം അതിൻ്റെ ദ്വിവിഭാഗവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാണ്. അങ്ങനെ, അതിൻ്റെ ഓരോ വരികളും ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ ഒരു സംഖ്യാപരമായ പാലിൻഡ്രോം ആണ്. സൂചിപ്പിച്ച ബീജഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമായ സവിശേഷതകൾ പാസ്കലിൻ്റെ ഐസോസിലിസ് ത്രികോണം എളുപ്പത്തിൽ വികസിപ്പിക്കാനും അനിയന്ത്രിതമായ ശക്തികളുടെ ദ്വിപദ ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ സ്ഥിരമായി കണ്ടെത്താനും സഹായിക്കുന്നു.
എന്നിരുന്നാലും, പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിവിധ ഗുണങ്ങൾ പഠിക്കാൻ, ഔപചാരികമായി കൂടുതൽ കർശനമായ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഫോർമാറ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഈ ഫോർമാറ്റിൽ, ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ താഴ്ന്ന ത്രികോണ മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് ഇത് വ്യക്തമാക്കുന്നു, അവിടെ അവ അനന്തമായ വലത് ത്രികോണമായി മാറുന്നു. ഒൻപതാം ഡിഗ്രി (n=9) വരെയുള്ള ദ്വിപദങ്ങൾക്കുള്ള പാസ്കലിൻ്റെ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ ശകലത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
ജ്യാമിതീയമായി, പാസ്കലിൻ്റെ ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തെ തിരശ്ചീനമായി രൂപഭേദം വരുത്തുന്നതിലൂടെ അത്തരമൊരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പട്ടിക ലഭിക്കും. തൽഫലമായി, പാസ്കലിൻ്റെ ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലാറ്ററൽ വശങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായ സംഖ്യാ ശ്രേണി പാസ്കലിൻ്റെ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങളിലേക്കും ഡയഗണലുകളിലേക്കും മാറുന്നു, കൂടാതെ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെയും തിരശ്ചീന രേഖകൾ യോജിക്കുന്നു. അതേ സമയം, പാസ്കലിൻ്റെ വലത് ത്രികോണത്തിന് അതിൻ്റെ ഐസോസിലിസ് പ്രതിരൂപത്തിൻ്റെ ദൃശ്യ സമമിതി സ്വഭാവം നഷ്‌ടപ്പെടുമെങ്കിലും, ദ്വിപദ ഗുണകങ്ങളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെയും സമമിതിയുടെയും നിയമങ്ങൾ സാധുവാണ്. ഇതിന് നഷ്ടപരിഹാരം നൽകുന്നതിന്, പാസ്കലിൻ്റെ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ തിരശ്ചീനങ്ങൾ, ലംബങ്ങൾ, വികർണ്ണങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്കായി ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ വിവിധ സംഖ്യാ ഗുണങ്ങൾ ഔപചാരികമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.
പാസ്കലിൻ്റെ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ തിരശ്ചീനങ്ങളുടെ വിശകലനം ആരംഭിക്കുമ്പോൾ, സൂപ്പർസ്ക്രിപ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ബൈനോമിയലുകൾ സംഗ്രഹിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയ്ക്ക് അനുസൃതമായി n എന്ന സംഖ്യയുള്ള ഏതെങ്കിലും വരിയുടെ മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 2n ന് തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. n എന്ന സംഖ്യയുള്ള ഏതെങ്കിലും തിരശ്ചീന രേഖകൾക്ക് മുകളിലുള്ള മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക (2 n 1) ന് തുല്യമാണെന്ന് ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. ഓരോ തിരശ്ചീനത്തിൻ്റെയും മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ മൂല്യം ബൈനറി നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിൽ എഴുതിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ ഈ ഫലം വളരെ വ്യക്തമാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, n=4 ന് ഈ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:
രണ്ട് ശക്തികളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട തിരശ്ചീനങ്ങളുടെ രസകരമായ രണ്ട് സവിശേഷതകൾ ഇതാ. തിരശ്ചീന സംഖ്യ രണ്ടിൻ്റെ (n=2 k) ശക്തിയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ എല്ലാ ആന്തരിക ഘടകങ്ങളും (ബാഹ്യമുള്ളവ ഒഴികെ) ഇരട്ട സംഖ്യകളാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. നേരെമറിച്ച്, ഒരു തിരശ്ചീന രേഖയുടെ സംഖ്യ രണ്ടിൻ്റെ ശക്തിയേക്കാൾ ഒന്ന് കുറവാണെങ്കിൽ അതിൻ്റെ എല്ലാ സംഖ്യകളും ഒറ്റയായിരിക്കും (n=2 k 1). ആന്തരിക ബൈനോമിയൽ ഗുണകങ്ങളുടെ പാരിറ്റി പരിശോധിച്ച് ഈ ഗുണങ്ങളുടെ സാധുത പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, തിരശ്ചീനമായ n=4, n=3 അല്ലെങ്കിൽ n=8, n=7 എന്നിവയിൽ.
ഇപ്പോൾ പാസ്കലിൻ്റെ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വരി നമ്പർ ഒരു പ്രധാന സംഖ്യ p ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ എല്ലാ ആന്തരിക ബൈനോമിയൽ ഗുണകങ്ങളും p കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. പ്രൈം കോണ്ടൂർ നമ്പറുകളുടെ ചെറിയ മൂല്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കാൻ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി എളുപ്പമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, അഞ്ചാമത്തെ തിരശ്ചീനമായ (5, 10, 5) എല്ലാ ആന്തരിക ബൈനോമിയൽ ഗുണകങ്ങളും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. ഏതെങ്കിലും പ്രൈം തിരശ്ചീന സംഖ്യ p യ്‌ക്ക് ഈ ഫലം തെളിയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ അതിൻ്റെ ദ്വിപദ ഗുണകങ്ങളുടെ ഗുണന സൂത്രവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്:
p ഒരു പ്രൈം സംഖ്യയായതിനാൽ, m കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകില്ല! സ്ക്വയർ ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ അനുപാതം സ്വാഭാവിക സംഖ്യ N ആണെന്നും ആവശ്യമുള്ള ഫലം വ്യക്തമാകുമെന്നും ഇത് പിന്തുടരുന്നു:
ഈ ഫലം ഉപയോഗിച്ച്, പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ എല്ലാ തിരശ്ചീന രേഖകളുടെയും സംഖ്യകൾ, നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രൈം നമ്പർ p കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ആന്തരിക ഘടകങ്ങൾ p യുടെ ശക്തികളാണെന്ന് നമുക്ക് സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്, അവയ്ക്ക് n=p k എന്ന രൂപമുണ്ട്. പ്രത്യേകിച്ചും, p=3 ആണെങ്കിൽ, മുകളിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന വരി 3-ൻ്റെ എല്ലാ ആന്തരിക ഘടകങ്ങളും മാത്രമല്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, 9-ാമത്തെ തിരശ്ചീനമായ (9, 36, 84, 126) പ്രൈം നമ്പർ p വിഭജിക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൽ ഒരു തിരശ്ചീന രേഖ കണ്ടെത്തുന്നത് അസാധ്യമാണ്, അതിൻ്റെ ആന്തരിക ഘടകങ്ങളെല്ലാം ഒരു സംയോജിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും. അല്ലെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു തിരശ്ചീന രേഖയുടെ എണ്ണം ഒരേസമയം അതിൻ്റെ എല്ലാ ആന്തരിക ഘടകങ്ങളും വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന സംയുക്ത സംഖ്യയുടെ പ്രൈം ഡിവൈസറുകളുടെ ശക്തിയായിരിക്കണം, എന്നാൽ വ്യക്തമായ കാരണങ്ങളാൽ ഇത് അസാധ്യമാണ്.
പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പരിഗണനകൾ പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ തിരശ്ചീന മൂലകങ്ങളുടെ വിഭജനത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന പൊതു മാനദണ്ഡം രൂപപ്പെടുത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും തിരശ്ചീന രേഖയുടെ എല്ലാ ആന്തരിക മൂലകങ്ങളുടെയും ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം (GCD) n എന്ന സംഖ്യയുള്ള പ്രൈം സംഖ്യ p ന് തുല്യമാണ്, മറ്റെല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും n=pk അല്ലെങ്കിൽ 1 ആണെങ്കിൽ:
GCD(Cmn) = ( ) ഏതെങ്കിലും 0< m < n .
തിരശ്ചീനങ്ങളുടെ വിശകലനത്തിൻ്റെ സമാപനത്തിൽ, അവയെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ ശ്രേണിയിലുള്ള രസകരമായ ഒരു സ്വത്ത് കൂടി പരിഗണിക്കേണ്ടതാണ്. നമ്പർ n ഉള്ള ഏതെങ്കിലും തിരശ്ചീന രേഖയുടെ ദ്വിപദ ഗുണകങ്ങൾ 10 എന്ന സംഖ്യയുടെ തുടർച്ചയായ ശക്തികളാൽ ഗുണിച്ചാൽ, ഈ ഉൽപ്പന്നങ്ങളെല്ലാം ചേർത്താൽ, ഫലം 11 n ആണ്. ന്യൂട്ടൺ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുലയിലേക്ക് X=10, Y=1 (അല്ലെങ്കിൽ Z=1) എന്നീ മൂല്യങ്ങളെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതാണ് ഈ ഫലത്തിൻ്റെ ഔപചാരികമായ ന്യായീകരണം. ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യാ ഉദാഹരണം n=5 എന്നതിനായുള്ള ഈ പ്രോപ്പർട്ടി പൂർത്തീകരണം വ്യക്തമാക്കുന്നു:
പാസ്കലിൻ്റെ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളുടെ വിശകലനം അവയുടെ ഘടക ഘടകങ്ങളുടെ വ്യക്തിഗത സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തോടെ ആരംഭിക്കാം. ഔപചാരികമായി, ഓരോ ലംബമായ m രൂപീകരിക്കുന്നത് സ്ഥിരമായ ഒരു സൂപ്പർസ്‌ക്രിപ്‌റ്റും (m) സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌റ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവും ഉള്ള ബൈനോമിയൽ ഗുണകങ്ങളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന അനന്ത ശ്രേണിയാണ്:
വ്യക്തമായും, m=0 എന്നതിൻ്റെ ഒരു ക്രമം ലഭിക്കുമ്പോൾ, m=1 ആകുമ്പോൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി രൂപപ്പെടുന്നു. m=2 ആകുമ്പോൾ ലംബം ത്രികോണ സംഖ്യകളാൽ നിർമ്മിതമാണ്. ഓരോ ത്രികോണ സംഖ്യയും ഒരു സമതല ത്രികോണത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു തലത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കാം, അത് ഒരു ചെക്കർബോർഡ് പാറ്റേണിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന അനിയന്ത്രിതമായ വസ്തുക്കൾ (ന്യൂക്ലിയുകൾ) കൊണ്ട് നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഓരോ ത്രികോണ സംഖ്യയും T k യുടെ മൂല്യം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന കേർണലുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, അതിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ എത്ര നിര കേർണലുകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് സൂചിക കാണിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 4 പ്രാരംഭ ത്രികോണ സംഖ്യകൾ ന്യൂക്ലിയർ "@" ചിഹ്നങ്ങളുടെ അനുബന്ധ സംഖ്യകളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന കോൺഫിഗറേഷനുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:
സമാനമായ രീതിയിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ വർഗ്ഗീകരിച്ച് ലഭിക്കുന്ന ചതുര സംഖ്യകളും പൊതുവേ, സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങൾ പതിവായി പൂരിപ്പിച്ച് രൂപംകൊണ്ട പോളിഗോണൽ ഫിഗർഡ് നമ്പറുകളും പരിഗണിക്കുന്ന ചതുര സംഖ്യകളെ പരിചയപ്പെടുത്താൻ കഴിയും എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, 4 പ്രാരംഭ ചതുര സംഖ്യകളെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ വിശകലനത്തിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ, m=3 ലെ അടുത്ത ലംബം ടെട്രാഹെഡ്രൽ (പിരമിഡൽ) സംഖ്യകളാൽ നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. അത്തരത്തിലുള്ള ഓരോ സംഖ്യയും P k ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോണിൻ്റെ ആകൃതിയിൽ ക്രമീകരിക്കാവുന്ന കോറുകളുടെ എണ്ണം വ്യക്തമാക്കുന്നു, കൂടാതെ ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് അത് ചിത്രീകരിക്കാൻ എത്ര തിരശ്ചീന ത്രികോണ പാളികൾ കോറുകളുടെ നിരകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് സൂചിക നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എല്ലാ തിരശ്ചീന പാളികളും തുടർച്ചയായ ത്രികോണ സംഖ്യകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കണം. പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ലംബങ്ങളുടെ ഘടകങ്ങൾ m>3 രൂപത്തിലുള്ള ഹൈപ്പർടെട്രെഡൽ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയാണ്, അവ വിമാനത്തിലോ ത്രിമാന സ്‌പെയ്‌സിലോ ദൃശ്യ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ഇല്ല, എന്നാൽ ത്രികോണ, ടെട്രാഹെഡൽ സംഖ്യകളുടെ മൾട്ടി-ഡൈമൻഷണൽ അനലോഗുകളുമായി ഔപചാരികമായി യോജിക്കുന്നു.
പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലംബ സംഖ്യാ ശ്രേണിക്ക് പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന വ്യക്തിഗത ആകൃതിയിലുള്ള സവിശേഷതകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും, അവയ്ക്ക് പ്രാരംഭ മൂലകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഭാഗിക തുകകൾ അതേ രീതിയിൽ കണക്കാക്കാൻ കഴിയും, സബ്സ്ക്രിപ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് കോമ്പിനേഷനുകളുടെ സംഖ്യകൾ സംഗ്രഹിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്. . പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൽ, ഈ സൂത്രവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനമുണ്ട്. ഏതെങ്കിലും ലംബത്തിൻ്റെ n മുകളിലെ ബൈനോമിയൽ ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അടുത്ത ലംബത്തിൻ്റെ മൂലകത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അത് ഒരു വരി ചുവടെ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ഈ ഫലം ത്രികോണ, ടെട്രാഹെഡ്രൽ, ഹൈപ്പർടെട്രാഹെഡൽ സംഖ്യകളുടെ ജ്യാമിതീയ ഘടനയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, കാരണം അത്തരം ഓരോ സംഖ്യയുടെയും പ്രാതിനിധ്യം ലോവർ ഓർഡർ നമ്പറുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന കോർ പാളികൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, അതിൻ്റെ രേഖീയ പാളികളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും സംഗ്രഹിച്ചുകൊണ്ട് nth ത്രികോണ സംഖ്യ Tn ലഭിക്കും:
അതുപോലെ, അതിൻ്റെ തിരശ്ചീന കോർ പാളികൾ നിർമ്മിക്കുന്ന ആദ്യത്തെ n ത്രികോണ സംഖ്യകളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന തുക കണക്കാക്കി ടെട്രാഹെഡ്രൽ നമ്പർ Pn കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല:
പാസ്കലിൻ്റെ വലത് ത്രികോണത്തിലെ തിരശ്ചീനങ്ങൾക്കും ലംബങ്ങൾക്കും പുറമേ, മൂലകങ്ങളുടെ ഡയഗണൽ വരികൾ കണ്ടെത്താനാകും, അവയുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനവും ചില താൽപ്പര്യമുള്ളതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാധാരണയായി അവരോഹണവും ആരോഹണവുമായ ഡയഗണലുകൾക്കിടയിൽ ഒരു വ്യത്യാസം ഉണ്ടാക്കുന്നു. താഴെയുള്ള ഡയഗണലുകൾ പാസ്കലിൻ്റെ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന് സമാന്തരമാണ്. രണ്ട് സൂചികകളുടെയും വർദ്ധനവുള്ള ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ചാണ് അവ രൂപപ്പെടുന്നത്. സമമിതിയുടെ ഐഡൻ്റിറ്റി കാരണം, അവരോഹണ ഡയഗണലുകൾ അവയുടെ മൂലകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളുമായി പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലംബ വരികളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ആവർത്തിക്കുന്നു. ലംബ പൂജ്യങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ n ഉള്ള അവരോഹണ ഡയഗണലിൻ്റെയും ലംബത്തിൻ്റെയും മൂലകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ യാദൃശ്ചികതയാൽ സൂചിപ്പിച്ച കത്തിടപാടുകൾ കണ്ടെത്താനാകും:
ആരോഹണ ഡയഗണലുകൾ പാസ്കലിൻ്റെ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന് ജ്യാമിതീയമായി ലംബമായി സംഖ്യാ ശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. അവ ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളാൽ നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ സൂപ്പർസ്ക്രിപ്റ്റിൻ്റെ താഴത്തെ കുറവും വർദ്ധനവും ഉണ്ട്. പ്രത്യേകിച്ചും, 7 മുകളിലെ ആരോഹണ ഡയഗണലുകൾ പിന്തുടരുന്ന പൂജ്യങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യാ ക്രമം ഉണ്ടാക്കുന്നു:
പൊതുവേ, ആരോഹണ ഡയഗണൽ നമ്പർ n-ൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ബൈനോമിയൽ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും സൂചികകളുടെ ആകെത്തുക (n1):
കോമ്പിനേഷൻ നമ്പറുകൾക്കുള്ള സങ്കലന ഐഡൻ്റിറ്റിയുടെ ഫലമായി, ഓരോ ഡയഗണൽ മൂലകവും മുമ്പത്തെ രണ്ട് ആരോഹണ ഡയഗണലുകളിൽ നിന്നുള്ള സൂചികകളിലെ രണ്ട് മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഇത് ഓരോ തുടർന്നുള്ള ആരോഹണ ഡയഗണലിനെയും രണ്ട് മുൻ ഡയഗണലുകളിൽ നിന്ന് തൊട്ടടുത്തുള്ള തിരശ്ചീന മൂലകങ്ങളുടെ ജോഡിവൈസ് സംഗ്രഹത്തിലൂടെ നിർമ്മിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു, ഇത് പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തെ ഡയഗണലിനൊപ്പം അനന്തമായി വികസിപ്പിക്കുന്നു. പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ശകലം 6 ഉം 7 ഉം ഉള്ള ഡയഗണലുകളോടൊപ്പം ഒരു ആരോഹണ ഡയഗണൽ നമ്പർ 8 ൻ്റെ നിർമ്മാണം ചിത്രീകരിക്കുന്നു:
ഈ നിർമ്മാണ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, 3 മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും ആരോഹണ ഡയഗണലിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, മുമ്പത്തെ രണ്ട് ആരോഹണ ഡയഗണലുകളുടെ മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും, കൂടാതെ ആദ്യത്തെ 2 ഡയഗണലുകളിൽ ഒരു മൂലകം മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ, മൂല്യം അതിൽ 1. അനുബന്ധ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യാ ശ്രേണി രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, അതനുസരിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് പാസ്കലിൻ്റെ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആരോഹണ ഡയഗണലുകളുടെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സ്വത്തിൻ്റെ സാധുത പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും:
ഈ സംഖ്യകൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, സമാനമായ ഒരു നിയമം അനുസരിച്ച്, ഫിബൊനാച്ചി സംഖ്യകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന ശ്രേണി രൂപപ്പെടുന്നതായി നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, അവിടെ ഓരോ അടുത്ത സംഖ്യയും മുമ്പത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ 1 ന് തുല്യമാണ്:
അതിനാൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സുപ്രധാന നിഗമനത്തിലെത്താം: പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ഡയഗണൽ തുകകൾ ഫിബൊനാച്ചി ശ്രേണിയെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു രസകരമായ സവിശേഷത സ്ഥാപിക്കാൻ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഫിബൊനാച്ചി ഫോർമുല ആവർത്തിച്ച് വികസിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, ആദ്യത്തെ n ഫിബൊനാച്ചി സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക (F n+2 1) തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.
അതിനാൽ, മുകളിലെ n ഡയഗണലുകൾ നിറയ്ക്കുന്ന ബൈനോമിയൽ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും (F n+2 1) തുല്യമാണ്. പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആദ്യത്തെ n ഡയഗണലുകളുടെ ആകെത്തുക അതിൻ്റെ ഡയഗണലിൽ (n+2) നിൽക്കുന്ന ബൈനോമിയൽ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയേക്കാൾ 1 കുറവാണ്.
ഉപസംഹാരമായി, പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ തിരശ്ചീനങ്ങൾ, ലംബങ്ങൾ, വികർണ്ണങ്ങൾ എന്നിവയുടെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഗുണവിശേഷതകൾ ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ പൊതുവായി ഒന്നുമില്ലാത്ത വിവിധ ഗണിതശാസ്ത്ര വശങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വൈവിധ്യമാർന്ന സാധ്യതകളെ ക്ഷീണിപ്പിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അത്തരം അസാധാരണ ഗുണങ്ങൾ പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണത്തെ ഏറ്റവും മികച്ച സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിലൊന്നായി കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അവയുടെ എല്ലാ കഴിവുകളും പട്ടികപ്പെടുത്താൻ കഴിയില്ല, അമിതമായി വിലയിരുത്താൻ പ്രയാസമാണ്.
പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണം ഉപയോഗിച്ച് കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം ചുവടെ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:
സ്വകാര്യ പ്രവർത്തനം SochTT (ByVal n ആയി പൂർണ്ണസംഖ്യ, ByVal k പൂർണ്ണസംഖ്യ) ഇരട്ട ഡിം ആയി പൂർണ്ണസംഖ്യയായി മങ്ങിയ j പൂർണ്ണസംഖ്യയായി മങ്ങിയ TT () ഇരട്ട ReDim ആയി TT (n, k) for i = 0 മുതൽ n TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 അടുത്തത് i = 2 To n ന് j = 1 To i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) അടുത്തത് SochTT = TT (n, k) എൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ
നിങ്ങൾക്ക് കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം നിരവധി തവണ കണക്കാക്കണമെങ്കിൽ, പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണം ഒരിക്കൽ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും, തുടർന്ന് അറേയിൽ നിന്ന് ഡാറ്റ സ്വീകരിക്കുക.
മങ്ങിയ TT () ഇരട്ട സ്വകാര്യ സബ് CreateTT () ReDim TT (0, 0) BuildTT 0, 0 End Sub Private Function SochTT (ByVal n പൂർണ്ണസംഖ്യയായി, ByVal k പൂർണ്ണസംഖ്യയായി) ഇരട്ടി ആണെങ്കിൽ n > Ubound (TT) തുടർന്ന് BuildTT Ubound (TT) + 1, n SochTT = TT (n, k) എൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ പ്രൈവറ്റ് സബ് ടെർമിനേറ്റ് TT () ReDim TT (0, 0) End Sub Private Sub BuildTT (ByVal ആരംഭം പൂർണ്ണസംഖ്യയായി, ByVal അവസാനം പൂർണ്ണസംഖ്യയായി) ഡിം i ആയി പൂർണ്ണസംഖ്യ മങ്ങുന്നു j ആയി Integer ReDim സംരക്ഷിക്കുക TT (അവസാനം, അവസാനം) for i = ആരംഭിക്കാൻ TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 അടുത്തത് അവസാനമാണെങ്കിൽ< 2 Then Exit Sub If start < 2 Then start = 2 For i = start To end For j = 1 To i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) Next Next End Sub
ആദ്യം നിങ്ങൾ CreateTT നടപടിക്രമം വിളിക്കേണ്ടതുണ്ട്. SochTT ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം ലഭിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് ഇനി ത്രികോണം ആവശ്യമില്ലെങ്കിൽ, TerminateTT നടപടിക്രമം വിളിക്കുക. മുകളിലുള്ള കോഡിൽ, SochTT ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുമ്പോൾ, ത്രികോണം ആവശ്യമായ തലത്തിലേക്ക് ഇതുവരെ പൂർത്തിയാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, അത് BuildTT നടപടിക്രമം ഉപയോഗിച്ച് പൂർത്തിയാക്കും. ഫംഗ്‌ഷന് പിന്നീട് ടിടി അറേയുടെ ആവശ്യമുള്ള ഘടകം ലഭിക്കുകയും അത് തിരികെ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു.
Dim X () Integer ആയി Dim K ആയി () Integer ആയി Dim K ആയി Integer Dim N ആയി Integer പബ്ലിക് സബ് Soch() Dim i ആയി Integer N = CInt(InputBox("Enter N")) K = CInt(InputBox("K Enter K ")) K = K + 1 ReDim X(N) for i = 1 To N X(i) = i Next txtOut.Text = "" ReDim Counter(K) Counter(0) = 1 SochGenerate 1 End Sub Private Sub SochGenerate( ByVal c പൂർണ്ണസംഖ്യയായി) മങ്ങിയ i പൂർണ്ണസംഖ്യയായി മങ്ങുന്നു j പൂർണ്ണസംഖ്യയായി മങ്ങുന്നു n1 പൂർണ്ണസംഖ്യയായി മങ്ങുന്നു () Integer ആയി Dim X1() integer ആയി c = K ആണെങ്കിൽ ReDim Out(K) X1 = X ഫോർ i = 1 മുതൽ K - 1 വരെ n1 = 0 for j = 1 മുതൽ N ആണെങ്കിൽ X1(j)<>0 അപ്പോൾ n1 = n1 + 1 എങ്കിൽ n1 = കൗണ്ടർ(i) പിന്നെ ഔട്ട്(i) = X1(j) X1(j) = 0 എക്സിറ്റ് ഫോർ എൻഡ് ആണെങ്കിൽ അടുത്തത് txtOut.Text = txtOut.Text & CStr(Out(i)) അടുത്തത് txtOut.Text = txtOut.Text & vbCrLf മറ്റുള്ളവ കൗണ്ടറിന് (സി) = കൗണ്ടർ (സി - 1) മുതൽ N - c + 1 SochGenerate c + 1 അടുത്ത അവസാനം സബ്ബ് ആണെങ്കിൽ
നാച്ചുറൽ നമ്പറുകളുടെ ലിസ്റ്റിംഗ് കോമ്പിനേഷനുകൾ
നിരവധി പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന പരിമിതമായ സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ഫിക്സഡ് കാർഡിനാലിറ്റിയുടെ എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകളും ലിസ്റ്റുചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, മാത്രമല്ല അവയുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുക മാത്രമല്ല. ഏതെങ്കിലും പരിമിതമായ ഗണത്തിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള എല്ലായ്പ്പോഴും നിലവിലുള്ള സാധ്യത കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, മിക്ക കേസുകളിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കോമ്പിനേഷനുകൾ എണ്ണുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങളുടെ ഉപയോഗത്തിലേക്ക് സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നത് അനുവദനീയമാണ്. അവയിൽ ഏറ്റവും സ്വാഭാവികവും ലളിതവുമായത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കോമ്പിനേഷനുകൾ ലിസ്റ്റ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം ആണ് നിഘണ്ടു ക്രമം.
ഈ അൽഗോരിതം ഔപചാരികമായി വിവരിക്കുന്നതിന്, പ്രധാന സെറ്റ്, ലിസ്റ്റുചെയ്യേണ്ട m മൂലകങ്ങളുടെ എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകളും 1 മുതൽ n വരെയുള്ള തുടർച്ചയായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് അനുമാനിക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമാണ്. അപ്പോൾ m ൻ്റെ ഏതെങ്കിലും കോമ്പിനേഷൻ ക്രമപ്പെടുത്തുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, അത്തരം കോമ്പിനേഷനുകളുടെ വെക്റ്ററിൻ്റെ ഓരോ സ്ഥാനത്തെയും മൂല്യം സ്വാഭാവികമായും മുകളിൽ നിന്നും താഴെ നിന്നുമുള്ള മൂല്യത്തിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: ലെക്സിഗ്രാഫിക് അൽഗോരിതം തുടർച്ചയായി അത്തരം കോമ്പിനേഷൻ വെക്റ്ററുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു, നിഘണ്ടുവിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ വെക്റ്ററിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, അവിടെ എല്ലാ സ്ഥാനങ്ങളിലും അവയുടെ സൂചികകൾക്ക് തുല്യമായ മൂലകങ്ങളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു: ഓരോ തുടർച്ചയായ കോമ്പിനേഷൻ വെക്‌ടറും അതിൻ്റെ മൂലകങ്ങൾ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് സ്‌കാൻ ചെയ്‌തതിന് ശേഷം അതിൻ്റെ പരിധി മൂല്യത്തിൽ എത്തിയിട്ടില്ലാത്ത വലത്തേ മൂലകത്തെ കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിലവിലുള്ളതിൽ നിന്ന് രൂപപ്പെടുന്നു: അത്തരം ഒരു മൂലകത്തിൻ്റെ മൂല്യം 1 വർദ്ധിപ്പിക്കണം. അതിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള ഓരോ മൂലകത്തിനും സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം നൽകണം, അത് ഇടതുവശത്തുള്ള അയൽക്കാരേക്കാൾ 1 വലുതാണ്. ഈ മാറ്റങ്ങൾക്ക് ശേഷം, കോമ്പിനേഷനുകളുടെ അടുത്ത വെക്റ്ററിന് ഇനിപ്പറയുന്ന മൂലക ഘടന ഉണ്ടായിരിക്കും: അതിനാൽ, അടുത്ത കോമ്പിനേഷൻ വെക്റ്റർ മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ നിഘണ്ടുവായി വലുതായിരിക്കും, കാരണം അവയുടെ പ്രാരംഭ (j1) മൂലകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മൂല്യത്തിൽ തുല്യമാണ്, കൂടാതെ j സ്ഥാനത്തുള്ള മൂലകത്തിൻ്റെ മൂല്യം മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ 1 കൂടുതലാണ്. . വർദ്ധന ലെക്സിഗ്രാഫിക് ക്രമത്തിൻ്റെ നിർദ്ദിഷ്ട ബന്ധം അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ എല്ലാ ആവർത്തനങ്ങളിലും തൃപ്തികരമാണെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുന്നു. ഫലം ഒരു വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ലെക്സിഗ്രാഫിക് സീക്വൻസാണ്, ഇത് നിഘണ്ടുശാസ്ത്രപരമായി ഏറ്റവും വലിയ കോമ്പിനേഷൻ വെക്‌ടറാണ് പൂർത്തിയാക്കുന്നത്, അവിടെ എല്ലാ സ്ഥാനങ്ങളിലെയും ഘടകങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പരമാവധി മൂല്യങ്ങളുണ്ട്: ലിക്‌സിഗ്രാഫിക് അൽഗോരിതം ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, ഇവിടെ n=6 ആദ്യ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ 15 കോമ്പിനേഷനുകളും m=4 സംഖ്യകളാൽ, അതായത്, പ്രധാന ജനറേറ്റിംഗിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ 4-ഘടക ഉപവിഭാഗങ്ങളും വർദ്ധിപ്പിച്ച് ലെക്സിഗ്രാഫിക് ക്രമത്തിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. 6 ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് (1, 2, 3, 4, 5, 6) സെറ്റ് ചെയ്യുക. കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, കോമ്പിനേഷൻ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്ഥാനങ്ങളിലെ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങൾ, യഥാക്രമം, 3, 4, 5, 6 എന്നിവയാണ്. ഫലങ്ങളുടെ വ്യാഖ്യാനം എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, ഓരോ കോമ്പിനേഷൻ വെക്റ്ററിലും, ഏറ്റവും വലത് മൂലകമാണ്. ഇതുവരെ അതിൻ്റെ പരമാവധി മൂല്യത്തിൽ എത്തിയിട്ടില്ല, അടിവരയിട്ടു. കോമ്പിനേഷൻ വെക്റ്ററുകളുടെ സംഖ്യാ സൂചികകൾ അവയുടെ സംഖ്യകളെ ലെക്സിഗ്രാഫിക് ക്രമത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, n മൂലകങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും സംയോജനത്തിൻ്റെ നിഘണ്ടു നമ്പർ N ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം, ഇവിടെ കോസ്മെറ്റിക് കാരണങ്ങളാൽ, കോമ്പിനേഷനുകളുടെ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ Appel പ്രതീകാത്മകത ഉപയോഗിക്കുന്നു: പ്രത്യേകിച്ചും, നിഘണ്ടു ക്രമത്തിൽ m=4 ൻ്റെ n=6 മൂലകങ്ങളുടെ കോമ്പിനേഷൻ നമ്പറിന് (1, 3, 4, 6) ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകൾ N=8 ഫലം നൽകും, ഇത് മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ഉദാഹരണവുമായി യോജിക്കുന്നു: പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് സൂചികകൾക്കും കോമ്പിനേഷനുകളുടെ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ഐഡൻ്റിറ്റി ഉപയോഗിച്ച്, ഇത് ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുമ്പോൾ നിഘണ്ടുവിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ കോമ്പിനേഷൻ്റെ എണ്ണം (1, ... i, ... m) കാണിക്കാൻ കഴിയും. ഫോർമുല എല്ലായ്പ്പോഴും 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും: ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുമ്പോൾ നിഘണ്ടുശാസ്ത്രപരമായി ഏറ്റവും വലിയ കോമ്പിനേഷൻ്റെ (m, ... nm+i, ... n) സംഖ്യ, m കൊണ്ട് n മൂലകങ്ങളുടെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും എന്നതും വ്യക്തമാണ്: ലെക്സിഗ്രാഫിക് കോമ്പിനേഷൻ നമ്പറുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല വിപരീത പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാം, അവിടെ കോമ്പിനേഷൻ വെക്‌ടറിനെ അതിൻ്റെ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് നിഘണ്ടു ക്രമത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരമൊരു വിപരീത പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അത് ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതണം, അവിടെ ആവശ്യമുള്ള സംയോജനത്തിൻ്റെ വെക്റ്ററിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ എല്ലാ അജ്ഞാത മൂല്യങ്ങളും (C 1, ... C i, ... C m ) അതിൻ്റെ വലത് വശത്തെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന വ്യത്യാസം L ഓരോ m ൻ്റെയും ഇടത് വശത്ത് എഴുതപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന "അത്യാഗ്രഹ" അൽഗോരിതം നൽകുന്നു, ആവർത്തന സമയത്ത് ആവശ്യമുള്ള കോമ്പിനേഷൻ്റെ വെക്റ്ററിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുടർച്ചയായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. പ്രാരംഭ ആവർത്തനത്തിൽ, C 1 ൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ (അതിൻ്റെ പരിമിതികൾക്കുള്ളിൽ) മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുത്തു, അതിൽ വലതുവശത്തുള്ള ആദ്യ പദത്തിന് L-യിൽ കൂടാത്ത പരമാവധി മൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കും: ഇപ്പോൾ L ൻ്റെ ഇടത് വശം C 1 ൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂല്യമുള്ള വലതുവശത്തുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ ആദ്യ എണ്ണം കൊണ്ട് കുറയ്ക്കണം, അതുപോലെ തന്നെ രണ്ടാമത്തെ ആവർത്തനത്തിൽ C 2 ൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുക: അതുപോലെ, ആവശ്യമുള്ള കോമ്പിനേഷൻ്റെ മറ്റെല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും C i യുടെ മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന് തുടർന്നുള്ള എല്ലാ ആവർത്തനങ്ങളും നടത്തണം, അവസാനത്തെ ഘടകം C m വരെ: വ്യക്തമായ കാരണങ്ങളാൽ, അവസാന മൂലകമായ C m ൻ്റെ മൂല്യം L ൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ശേഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിലേക്കുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ തുല്യതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നിർണ്ണയിക്കാനാകും: C m കോമ്പിനേഷൻ്റെ അവസാന മൂലകത്തിൻ്റെ മൂല്യം അതിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാതെ തന്നെ കൂടുതൽ ലളിതമായി കണ്ടെത്താനാകും എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്: പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന അൽഗോരിതം ആവർത്തനങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു, ഇവിടെ n=6 ഉം m=4 ഉം ആണെങ്കിൽ നിഘണ്ടു ക്രമത്തിൽ N=8 എന്ന സംഖ്യയുമായുള്ള കോമ്പിനേഷനുകൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: ലെക്സിഗ്രാഫിക് ക്രമത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോമ്പിനേഷൻ നിർണ്ണയിക്കാനുള്ള അൽഗോരിതം കഴിവ് വിവിധ ദിശകളിൽ ഉപയോഗിക്കാം. പ്രത്യേകിച്ചും, ലെക്സിഗ്രാഫിക് ക്രമത്തിൽ കോമ്പിനേഷനുകൾ ലിസ്റ്റുചെയ്യുമ്പോൾ, നേരത്തെ ലഭിച്ച ഏതെങ്കിലും കോമ്പിനേഷനിലേക്ക് മടങ്ങുന്നത് ഉറപ്പാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിൻ്റെ നമ്പർ മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ മതി. കൂടാതെ, ഏത് ക്രമത്തിലും കോമ്പിനേഷനുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നത് സാധ്യമാകും, അത് അവയുടെ ലെക്സിഗ്രാഫിക് നമ്പറുകളുടെ ഏകപക്ഷീയമായി നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്രമത്താൽ നിയന്ത്രിക്കപ്പെടുന്നു. നിഘണ്ടു ക്രമത്തിൽ കോമ്പിനേഷനുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു: 2 for i:= 1 to k to A[i] := i; 5 എഴുതാൻ തുടങ്ങുക(A, ..., A[k]); 6 എങ്കിൽ A[k] = n പിന്നെ p:= p 1 else p:= k; 8 for i:= k downto p do A[i] := A[p] + i p + 1 ആവർത്തിക്കുന്ന മൂലകങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകൾ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും വ്യത്യസ്‌തമായ ഒരു ക്ലാസിക്കൽ കോമ്പിനേഷനിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ആവർത്തനങ്ങളുമായുള്ള സംയോജനം ഒരു പരിമിതമായ ഗണത്തിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമരഹിതമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, അവിടെ ഏത് ഘടകവും അനിശ്ചിതമായി ദൃശ്യമാകുകയും ഒരൊറ്റ പകർപ്പിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്നില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം സാധാരണയായി കോമ്പിനേഷൻ്റെ ദൈർഘ്യത്താൽ മാത്രം പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ കുറഞ്ഞത് ഒരു ഘടകത്തിലെങ്കിലും വ്യത്യാസമുള്ള കോമ്പിനേഷനുകൾ വ്യത്യസ്തമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സെറ്റ് 1, 2, 3 എന്നിവയിൽ നിന്ന് 4 ഓപ്ഷണലായി വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ആവർത്തനങ്ങളോടെ ഇനിപ്പറയുന്ന 15 കോമ്പിനേഷനുകൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും: 1111 1112 1113 1122 1123 1133 1222 1223 1233 1333 2222 2223 2233 2333 3333.
പൊതുവേ, അനിയന്ത്രിതമായ തരങ്ങളുടെ n ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകൾ രൂപീകരിക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, അവ എല്ലായ്പ്പോഴും 1 മുതൽ n വരെയുള്ള തുടർച്ചയായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താം. ഈ ശ്രേണിയിലെ m ഓപ്ഷണലായി വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകളുടെ ഏത് കോമ്പിനേഷനും വെക്റ്റർ രൂപത്തിൽ എഴുതാം, അവ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് കുറയാത്ത ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിക്കാം: സ്വാഭാവികമായും, ഈ രൂപത്തിലുള്ള നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, പരിധിയില്ലാത്ത ആവർത്തനങ്ങളുടെ സാധ്യത കാരണം ഏതെങ്കിലും അയൽ ഘടകങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, n മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളുള്ള ഓരോ കോമ്പിനേഷൻ വെക്‌റ്ററും m മുഖേനയുള്ള (n+m−1) മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു കോമ്പിനേഷൻ വെക്‌റ്ററുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താം, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു: വെക്റ്റർ എഫ് മൂലകങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്ക്, വെക്റ്റർ സിയുടെ മൂലകങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുകയും അവയുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ക്രമം 1 മുതൽ (n+m1) വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ വർധിപ്പിക്കുന്നതിന് കർശനമായി ക്രമപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്. : f, C എന്നീ കോമ്പിനേഷൻ വെക്‌ടറുകളുടെ മൂലകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വൺ-ടു-വൺ കറസ്‌പോണ്ടൻസിൻ്റെ സാന്നിദ്ധ്യം, m കൊണ്ട് n മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകൾ വ്യവസ്ഥാപിതമായി ലിസ്റ്റുചെയ്യുന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ലളിതമായ രീതി നിർദ്ദേശിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ലെക്സിഗ്രാഫിക് ക്രമത്തിൽ, m ൻ്റെ (n+m1) ഘടകങ്ങളുടെ എല്ലാ C കോമ്പിനേഷനുകളും ലിസ്റ്റ് ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അവ ഓരോന്നിൻ്റെയും മൂലകങ്ങളെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നു: തൽഫലമായി, മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു ശ്രേണി രൂപം കൊള്ളുന്നു, അവ മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളില്ലാതെ അനുബന്ധ കോമ്പിനേഷനുകൾ ലിസ്റ്റുചെയ്യുന്നതിലൂടെ സൃഷ്ടിച്ച ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, 4 അക്കങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളുള്ള 3 അക്കങ്ങളുടെ 1, 2, 3 എന്നിവയുടെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ മുകളിലുള്ള ക്രമം ലഭിക്കുന്നതിന്, 6 അക്കങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളില്ലാതെ എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകളും ലെക്സിഗ്രാഫിക് ക്രമത്തിൽ ലിസ്റ്റ് ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. കൂടാതെ 6 എന്നത് 4 അക്കങ്ങൾ വീതമാണ്, അവയെ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നിഘണ്ടു സംഖ്യ 8-നൊപ്പം (1,3,4,6) സംയോജനത്തിൻ്റെ അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം കാണിക്കുന്നു: മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളോടുകൂടിയതും അല്ലാത്തതുമായ കോമ്പിനേഷനുകൾക്കിടയിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന വൺ-ടു-വൺ കത്തിടപാടുകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് അവയുടെ സെറ്റുകൾ തുല്യമായി ശക്തമാണ് എന്നാണ്. അതിനാൽ, പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, m കൊണ്ട് n മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം m കൊണ്ട് (n+m1) മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളില്ലാത്ത കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. എഫ് ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ സംഖ്യകളും ആവർത്തനങ്ങളില്ലാത്ത സിയും സൂചിപ്പിക്കുന്നതിന് അതേ പ്രതീകാത്മകത ഉപയോഗിച്ച്, ഈ സമത്വം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: മുകളിൽ പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണത്തിന്, n=3, m=4 എന്നിവയിൽ, ആവർത്തന കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം 15-ന് തുല്യമായിരിക്കും, അത് അവയുടെ നേരിട്ടുള്ള ലിസ്റ്റിംഗിൻ്റെ ഫലവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു: ക്ലാസിക്കൽ പതിപ്പിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷൻ പാരാമീറ്ററുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ പരസ്പരം നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടിട്ടില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, അതിനാൽ അവയുടെ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും സംയോജനത്തിന് f(n,m)>0. (n+m1), (n1) അല്ലെങ്കിൽ (n+m1), m എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള തുല്യതയിൽ നിന്നാണ് അനുബന്ധ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത്: m 1 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളൊന്നും സാധ്യമല്ല, അതിനാൽ, n>0 ൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് മൂല്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യത ശരിയായിരിക്കുമെന്നതും വളരെ വ്യക്തമാണ്: കൂടാതെ, n, m എന്നിവയുടെ ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കുള്ള ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ സംഖ്യകൾക്ക്, ഇനിപ്പറയുന്ന ആവർത്തന ബന്ധം സാധുവാണ്, ഇത് മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളില്ലാതെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഐഡൻ്റിറ്റിക്ക് സമാനമാണ്: യഥാർത്ഥത്തിൽ, ആവർത്തനങ്ങളില്ലാതെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ അനുബന്ധ സംഖ്യകളുടെ ഔപചാരികമായ പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ അത് സൂചിപ്പിച്ച സങ്കലന ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറുന്നു: ഫാക്‌ടോറിയൽ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അധ്വാന-തീവ്രമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കുകയും അവയെ ലളിതമായ സങ്കലന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് പ്രധാനമായിരിക്കുമ്പോൾ, ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം ഫലപ്രദമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ആവർത്തന ബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, f(n,m) ൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ, f(1,m), f(i,1) എന്നീ ഫോമുകളുടെ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ലഭിക്കുന്നതുവരെ നിങ്ങൾ ഈ ആവർത്തന ബന്ധം പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. n മുതൽ 1 വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. അളവിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് അത്തരം പദങ്ങൾ യഥാക്രമം 1, i എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. n=3, m=4 എന്നിവയ്ക്കായി ഈ പരിവർത്തന സാങ്കേതികതയുടെ ഉപയോഗം ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം വ്യക്തമാക്കുന്നു: ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകൾ ലിസ്റ്റുചെയ്യുന്നു അസംബ്ലി ഭാഷയിൽ ഹാർഡ്‌വെയറിലോ പ്രോഗ്രാമിംഗിലോ കോമ്പിനേഷനുകൾ നടപ്പിലാക്കുമ്പോൾ, കോമ്പിനേഷൻ റെക്കോർഡുകൾ ബൈനറി ഫോർമാറ്റിൽ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്നത് പ്രധാനമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, m ൻ്റെ n മൂലകങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും സംയോജനം ഒരു n-bit ബൈനറി സംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ (B n,...B j,...B 1) വ്യക്തമാക്കണം, ഇവിടെ m യൂണിറ്റ് അക്കങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു കോമ്പിനേഷൻ, ശേഷിക്കുന്ന (nm) അക്കങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. വ്യക്തമായും, ഈ രൂപത്തിലുള്ള നൊട്ടേഷനിൽ, 1 ൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ ക്രമീകരണത്തിൽ വ്യത്യസ്ത കോമ്പിനേഷനുകൾ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കണം, കൂടാതെ n-ബിറ്റ് ബൈനറി സെറ്റിൽ m വൺസ് അല്ലെങ്കിൽ (nm) പൂജ്യങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കാൻ C(n,m) വഴികൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയിൽ അത്തരം 6 ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകൾ ലിസ്റ്റുചെയ്യുന്നു, ഇത് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സെറ്റിൻ്റെ (E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ) എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകൾക്കും 4-ബിറ്റ് ബൈനറി നമ്പറുകൾ നൽകുന്നു: പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, അത്തരം ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകൾ എണ്ണുന്നതിനുള്ള ചുമതല, m one, (nm) സീറോ ബിറ്റുകൾ എന്നിവയുടെ വ്യത്യസ്ത ക്രമീകരണങ്ങളുള്ള എല്ലാ n-bit ബൈനറി സെറ്റുകളുടെയും ക്രമാനുഗതമായ തിരയലിലേക്ക് വരുന്നു. ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപത്തിൽ, ഒരു ഷിഫ്റ്റ് (ട്രാൻസ്പോസിറ്റീവ്-ഷിഫ്റ്റ് അൽഗോരിതങ്ങൾ) ഉപയോഗിച്ച് അടുത്തുള്ള ബിറ്റുകൾ ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള വിവിധ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് അത്തരം തിരയൽ നടപ്പിലാക്കുന്നത്. ഇവ ആവർത്തന അൽഗോരിതങ്ങളാണ്, അവയുടെ പേരുകൾ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും നടത്തുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സ്വഭാവത്തെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. ട്രാൻസ്പോസിറ്റീവ്-ഷിഫ്റ്റ് അൽഗോരിതങ്ങളുടെ ആവർത്തന നടപടിക്രമങ്ങൾ ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകളുടെ ക്രമങ്ങളുണ്ടാക്കുന്നു, അത് ഒരു ബൈനറി സെറ്റിൽ ആരംഭിക്കുന്നു, അവിടെ എല്ലാം ലോ-ഓർഡർ അക്കങ്ങളിൽ (വലതുവശത്ത്) കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ എല്ലാ 1-കളും ഉയർന്ന ഓർഡർ അക്കങ്ങളിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ അവസാനിക്കും ( ഇടത് ഭാഗത്ത്): പ്രാരംഭവും അവസാനവുമായ കോമ്പിനേഷനുകളിൽ പൊരുത്തപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഈ സീക്വൻസുകൾ ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ബൈനറി സെറ്റുകൾ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ക്രമത്തിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും, ഓരോ തുടർന്നുള്ള ബൈനറി കോമ്പിനേഷനും അനുബന്ധ ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ, ഷിഫ്റ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് രൂപം കൊള്ളുന്നു. അതേ സമയം, ട്രാൻസ്പോസിറ്റീവ്-ഷിഫ്റ്റ് അൽഗോരിതങ്ങൾ ട്രാൻസ്‌പോസിഷനായി ഒരു ജോടി ബിറ്റുകളും ഷിഫ്റ്റിംഗിനായി ഒരു കൂട്ടം ബിറ്റുകളും തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന രീതിയിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇടത്തും വലത്തും ഷിഫ്റ്റ് ഉള്ള ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ അൽഗോരിതങ്ങൾക്കായി ഈ പ്രത്യേകത ചുവടെ ചർച്ചചെയ്യുന്നു. ഇടത് ഷിഫ്റ്റുള്ള ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ അൽഗോരിതത്തിൽ, ഓരോ ഘട്ടത്തിലും 01 എന്ന ഇടതുവശത്തുള്ള ജോഡി അക്കങ്ങൾ 10 (ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും മുൻനിര യൂണിറ്റ് അക്കങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പിനെ ഏതെങ്കിലും വശത്തേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്‌ത് നിലവിലെ ഒന്നിൽ നിന്ന് അടുത്ത ബൈനറി കോമ്പിനേഷൻ ലഭിക്കും. ട്രാൻസ്‌പോസിഷന് (ഷിഫ്റ്റ്) ശേഷം ലഭിച്ച ജോടി 10. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിലവിലെ ബൈനറി കോമ്പിനേഷനിൽ മുൻനിര അക്കങ്ങളിൽ യൂണിറ്റുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ട്രാൻസ്‌പോസിഷന് ശേഷം ലീഡിംഗ് യൂണിറ്റ് ലഭിക്കുമ്പോൾ പോലും ഷിഫ്റ്റ് നടപ്പിലാക്കില്ല. ട്രാൻസ്‌പോസിഷനുശേഷം ലഭിച്ച ജോഡി 10-ന് മുമ്പുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ബിറ്റുകളിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ഇല്ലാത്തപ്പോൾ ഷിഫ്റ്റ് നടത്തില്ല. ഈ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയായ രണ്ട് ആവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിലൂടെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചിത്രീകരിക്കുന്നു, ഇവിടെ ഒരു ആവർത്തനത്തിൽ (15) ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ (ടി") മാത്രമേ നടത്തൂ, മറ്റൊരു ആവർത്തനത്തിൽ (16) ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ ഒരു ഷിഫ്റ്റ് വഴി അനുബന്ധമായി നൽകുന്നു ( T"+S"): വലത്-ഷിഫ്റ്റ് ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ അൽഗോരിതത്തിൽ, ഓരോ ഘട്ടത്തിലും ആശയപരമായി സമാനമായ ഘട്ടങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കുന്നു. ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ മാത്രമേ 01 ൻ്റെ ഏറ്റവും വലത് ബിറ്റുകൾക്ക് പകരം 10 (ഇടത്തെ അറ്റത്തുള്ളവയ്ക്ക് പകരം) എന്ന് ഉറപ്പാക്കുന്നു, തുടർന്ന് അതിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള എല്ലാ ബിറ്റുകളും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ബിറ്റുകളിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. മുമ്പത്തെപ്പോലെ, വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയുന്ന യൂണിറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ ഷിഫ്റ്റ് നടത്തുകയുള്ളൂ. ഈ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയായ രണ്ട് ആവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിലൂടെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചിത്രീകരിക്കുന്നു, ഇവിടെ ഒരു ആവർത്തനത്തിൽ (3) ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ (ടി") മാത്രമേ നടത്തൂ, മറ്റൊരു ആവർത്തനത്തിൽ (4) ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ ഒരു ഷിഫ്റ്റ് വഴി അനുബന്ധമായി നൽകുന്നു ( T"+S"): ബേസ് 2 നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിൽ ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി വ്യാഖ്യാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ രണ്ട് അൽഗരിതങ്ങളുടെയും ആവർത്തനങ്ങൾ സങ്കലന രൂപത്തിൽ എഴുതാം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, വലത് ഷിഫ്റ്റുള്ള ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ അൽഗോരിതത്തിന്, ഓരോ അടുത്ത ബൈനറി കോമ്പിനേഷനും (B" n ,...B" j , …B" 1), ഇനിപ്പറയുന്ന സങ്കലന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി നിലവിലെ കോമ്പിനേഷനിൽ നിന്ന് (B n,…B j,…B 1) എപ്പോഴും ലഭിക്കും: ഈ സങ്കലന സൂത്രവാക്യത്തിൽ, യഥാക്രമം എഫ്, ടി എന്നീ രണ്ട് ശക്തികളുടെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, നിലവിലെ ബൈനറി കോമ്പിനേഷൻ്റെ ലോ-ഓർഡർ പൂജ്യം അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണവും അവയുടെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഒരു വരിയിലെ എണ്ണവും. ഉദാഹരണത്തിന്, n=6 അക്കങ്ങളുടെ f =1, t =3 എന്നിവയുടെ നാലാമത്തെ ബൈനറി കോമ്പിനേഷനായി (001110). അതിനാൽ, ആവർത്തന 5-ലെ സങ്കലന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് അടുത്ത ബൈനറി കോമ്പിനേഷൻ കണക്കാക്കുന്നത് ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ, ഷിഫ്റ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിന് തുല്യമായ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലം നൽകും: ഇടത്തേയും വലത്തേയും ഷിഫ്റ്റുകളുള്ള പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ അൽഗോരിതങ്ങളുടെ താരതമ്യ വിശകലനത്തിനായി, അവയുടെ ആവർത്തനങ്ങളിൽ അവ സൃഷ്ടിക്കുന്ന ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകളുടെ സീക്വൻസുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത് നല്ലതാണ്. യഥാക്രമം ഇടത് (ടിഎസ്എൽ), വലത് (ടിഎസ്ആർ) ഷിഫ്റ്റ് അൽഗോരിതങ്ങൾ വഴി ലഭിക്കുന്ന 2 ൻ്റെ 4 മൂലകങ്ങളുടെ ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകളുടെ അത്തരം രണ്ട് ശ്രേണികൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക കാണിക്കുന്നു: ഈ 2 സീക്വൻസുകളും താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, അവ റിവേഴ്സ് മിറർ ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. ഇതിനർത്ഥം, അവയുടെ ശ്രേണികളുടെ പരസ്പരവിരുദ്ധമായ അറ്റങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിൽ അവയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകൾ പരസ്പരം ഒരു മിറർ ഇമേജാണ്, അതായത്, അവയിലേതെങ്കിലും ബിറ്റുകളുടെ സൂചിക വിപരീതമാകുമ്പോൾ അവ യോജിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, TSL സീക്വൻസിൻറെ (0101) തുടക്കം മുതലുള്ള രണ്ടാമത്തെ ബൈനറി പാറ്റേൺ, TSR സീക്വൻസിൻറെ അവസാനം മുതൽ രണ്ടാമത്തേത് ബൈനറി പാറ്റേണിൻ്റെ (1010) ഒരു മിറർ ഇമേജാണ്. പൊതുവേ, ഒരു ശ്രേണിയിലെ നമ്പർ i ഉള്ള ഏതൊരു ബൈനറി കോമ്പിനേഷനും മറ്റൊരു ശ്രേണിയുടെ സംഖ്യ (ni+1) ഉള്ള ഒരു ബൈനറി കോമ്പിനേഷൻ്റെ മിറർ ഇമേജാണ്. ഈ സീക്വൻസുകൾ തമ്മിലുള്ള ഈ ബന്ധം ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന അൽഗോരിതങ്ങളിലെ ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ, ഷിഫ്റ്റ് ഓപ്പറേഷനുകളുടെ സമമിതി സ്വഭാവത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണ്. മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകൾ രേഖപ്പെടുത്താനും ബൈനറി ഫോർമാറ്റ് ഉപയോഗിക്കാമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആവർത്തനങ്ങളുമായും ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകളുമായും ഉള്ള കോമ്പിനേഷനുകൾക്കിടയിൽ ഒറ്റത്തവണ കത്തിടപാടുകൾ സ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അവ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കുന്നു. ആവർത്തനങ്ങൾക്കൊപ്പം ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സംയോജനം ഉണ്ടാകട്ടെ, അത് ജനറേറ്റിംഗ് സെറ്റിൻ്റെ n ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് m ഓപ്ഷണലായി വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കും. ആവശ്യമുള്ള പൊരുത്തം സ്ഥാപിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം രൂപപ്പെടുന്ന സെറ്റിൻ്റെ (പൂച്ച) എല്ലാ ഘടകങ്ങളും കോമ്പിനേഷനിലേക്ക് ചേർക്കണം, തുടർന്ന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംയോജനം (അക്രമം) അടുക്കുക, അങ്ങനെ എല്ലാ സമാന ഘടകങ്ങളും വശങ്ങളിലായി ഉണ്ടായിരിക്കും. ഫലം (n+m) മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്, ഇവിടെ സമാന മൂലകങ്ങളുടെ n ഗ്രൂപ്പുകൾ ഉണ്ട്. മൂലകങ്ങൾക്കിടയിൽ ആകെ (n+m1) വിടവുകൾ ഉണ്ടാകും, അവയിൽ സമാന മൂലകങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുകൾക്കിടയിൽ (n1) വിടവുകളും ഗ്രൂപ്പുകൾക്കുള്ളിലെ മൂലകങ്ങൾക്കിടയിൽ m വിടവുകളും ഉണ്ടാകും. വ്യക്തതയ്ക്കായി, സൂചിപ്പിച്ച സ്ഥലങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് "|" ചിഹ്നങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കാം. അതിനനുസരിച്ച്. ഗ്രൂപ്പുകൾക്കിടയിലുള്ള (|) സ്‌പെയ്‌സുകളിലേക്കും 0 മറ്റെല്ലാ സ്‌പെയ്‌സുകളിലേക്കും () പൊരുത്തപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു ബൈനറി കോമ്പിനേഷൻ ലഭിക്കും. (n+m1) ബിറ്റുകളുടെ ഒരു ബൈനറി സെറ്റ് ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇത് രൂപപ്പെടുന്നത്, ഇവിടെ (n1) വൺസും m സീറോ ബിറ്റുകളും ആണ്, ഇതിൻ്റെ സ്ഥാനം m-ലൂടെയുള്ള മൂലകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളുമായുള്ള യഥാർത്ഥ സംയോജനവുമായി അദ്വിതീയമായി യോജിക്കുന്നു. ആവർത്തനങ്ങളുമായുള്ള (ബിബിഡി) സംയോജനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ബൈനറി കോമ്പിനേഷൻ (1001101) നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിലൂടെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പരിവർത്തന സാങ്കേതികത ചിത്രീകരിക്കുന്നു, ഇവയുടെ ഘടകങ്ങൾ ആദ്യത്തെ അഞ്ച് ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങളുടെ ജനറേറ്റിംഗ് സെറ്റിൽ നിന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു: പൊതുവേ, അത്തരം ബൈനറി സെറ്റുകളുടെ എണ്ണം (n+m1) ബൈനറി അക്കങ്ങളിൽ (n1) വൺ (അല്ലെങ്കിൽ m പൂജ്യം) ക്രമീകരിക്കാനുള്ള വഴികളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഈ മൂല്യം (n+m1) മുതൽ (n1) അല്ലെങ്കിൽ m വഴിയുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, C(n+m1,n1) അല്ലെങ്കിൽ C(n+m1,m), ഇത് n മൂലകങ്ങളുടെ f(n,m) ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം, m ഓരോന്നും. അങ്ങനെ, ആവർത്തനങ്ങളും ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകളും ഉള്ള കോമ്പിനേഷനുകൾ തമ്മിൽ ഒരു-ടു-വൺ കത്തിടപാടുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, ആവർത്തനങ്ങളുമായുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണൽ ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നത് നിയമാനുസൃതമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇടത് അല്ലെങ്കിൽ വലത് ഷിഫ്റ്റ് ഉള്ള ട്രാൻസ്‌പോസിഷൻ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ആവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമായ കോമ്പിനേഷനുകൾ മാത്രം പുനഃസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്ന വീണ്ടെടുക്കൽ സാങ്കേതികത ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ചെയ്യാൻ കഴിയും. m ൻ്റെ ആവർത്തനങ്ങളുള്ള കോമ്പിനേഷനുകൾ ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല, പ്രധാന സെറ്റ്, ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ രീതിയിൽ ഓർഡർ ചെയ്യട്ടെ, അതിലൂടെ അതിൻ്റെ ഓരോ മൂലകത്തിനും 1 മുതൽ n വരെയുള്ള ഒരു നിശ്ചിത സീരിയൽ നമ്പർ ഉണ്ടായിരിക്കും. (n+m1) ബൈനറി അക്കങ്ങളുടെ ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണവും നമുക്ക് നടപ്പിലാക്കാം, ഇവിടെ (n1) വൺസും m പൂജ്യം അക്കങ്ങളും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഓരോ ബൈനറി കോമ്പിനേഷനും ഇടതുവശത്ത് ഒരു സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് അക്കം ഉപയോഗിച്ച് അനുബന്ധമായി നൽകാം, കൂടാതെ എല്ലാ യൂണിറ്റ് അക്കങ്ങളും 1 മുതൽ n വരെയുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് അക്കമിടാം. ബൈനറി കോമ്പിനേഷൻ്റെ ഓരോ i-th യൂണിറ്റിനും ശേഷം ഒരു വരിയിലെ പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം, ആവർത്തനങ്ങളുള്ള അനുബന്ധ കോമ്പിനേഷനിലെ പ്രധാന സെറ്റിൻ്റെ i-th ഘടകത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സാങ്കേതികത ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു, അവിടെ, ഒരു ബൈനറി കോമ്പിനേഷൻ (1001101) ഉപയോഗിച്ച്, ബിബിഡിയുടെ ആവർത്തനങ്ങളുമായുള്ള സംയോജനം പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നു, അക്ഷരമാലാക്രമത്തിൽ എഴുതിയ ആദ്യത്തെ അഞ്ച് ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങളുടെ ജനറേറ്റിംഗ് സെറ്റിൽ നിന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്ത ഘടകങ്ങൾ , കൂടാതെ ഈ കോമ്പിനേഷനിൽ ഇല്ലാത്ത ഘടകങ്ങളെ ഓവർലൈൻ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: ഈ ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകളിൽ സമാനമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് 7-ബിറ്റ് ബൈനറി സെറ്റുകൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന എല്ലാ 35 ബൈനറി കോമ്പിനേഷനുകളും ലിസ്റ്റുചെയ്യാനാകും, അവിടെ 4 ഒണുകളും 3 പൂജ്യങ്ങളും ഉണ്ട്, കൂടാതെ 3 ൻ്റെ 5 ഘടകങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങളോടെ അനുബന്ധ കോമ്പിനേഷനുകൾ പുനഃസ്ഥാപിക്കാം. ഉദാഹരണം // (int i1 = 0; i1. 52-ൽ 3) കോമ്പിനേഷനുകൾ< 50; ++i1)
for (int i2 = i1+1; i2 < 51; ++i2)
for (int i3 = i2+1; i3 < 52; ++i3)
// ...
RuNet-ൽ ഞാൻ കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ലാത്ത കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രശ്നം ഇവിടെ നോക്കാം (എന്നിരുന്നാലും, ഞാൻ ഒരു ലിങ്ക് നൽകും, പക്ഷേ ആ ഫോർമുല വ്യക്തമായി തെറ്റാണ്) - കോമ്പിനേഷൻ തന്നെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു കൂട്ടം മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ) അതിൻ്റെ സൂചിക കണ്ടെത്തുക. i1 = 3, i2 = 7, i3 = 12 എന്ന് ക്രമപ്പെടുത്തിയതിന് ശേഷം, നമുക്ക് ഉറപ്പായി അനുമാനിക്കാം. ഒരു സാധാരണ ജനറേഷൻ അൽഗോരിതം, ഞങ്ങൾ 52-ൽ 2 കോമ്പിനേഷനുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒരു നെസ്റ്റഡ് ലൂപ്പിൽ അത്തരം ഓരോ കോമ്പിനേഷനും ഞങ്ങൾ 50-ൽ 3 കോമ്പിനേഷനുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു, കൂടാതെ നെസ്റ്റഡ് കോമ്പിനേഷനിലെ സൂചികകൾ (i3, i4, i5) ചെയ്യുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക. ബാഹ്യ സംയോജനത്തിൽ സൂചികകളുമായി (i1, i2) പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല: C++ കോഡ് // (int i1 = 0; i1. എന്നതിനായുള്ള ബാഹ്യ സംയോജനം< 51; ++i1)
for (int i2 = i1+1; i2 < 52; ++i2)
// ВНУТРЕННЕЕ СОЧЕТАНИЕ
for (int i3 = 0; i3 < 50; ++i3)
if (i3 != i1 && i3 != i2)
for (int i4 = i3+1; i4 < 51; ++i4)
if (i4 != i1 && i4 != i2)
for (int i5 = i4+1; i5 < 52; ++i5)
if (i5 != i1 && i5 != i2)
// ...
C++ കോഡ് എങ്കിൽ (i3 >= i1) --i3; എങ്കിൽ (i3 >= i2) --i2; // i4, i5 എന്നിവയ്ക്ക് സമാനമാണ് 2, 3, 47 വഴി സ്പ്ലിറ്റ് സൂചികയ്ക്കുള്ള ഉദാഹരണ കോഡ് int get_split_2_3_47_index(int i1, int i2, int i3, int i4, int i5) ( // 52 ൽ 2 ൻ്റെ സംയോജനത്തിൻ്റെ സൂചിക, C(3, 50) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ int ഓഫ്‌സെറ്റ് = ((52*51 - (51-i1) *(52-i1)) / 2 + (i2 - i1 - 1)) * 19600; // ആന്തരിക ഗ്രൂപ്പിനെ "വീണ്ടും സൂചിക" ചെയ്യുക, അങ്ങനെ നമ്പറിംഗ് 0...49 ആണെങ്കിൽ (i3 > = i1) --i3; എങ്കിൽ (i3 >= i2) --i3; എങ്കിൽ (i4 >= i1) --i4; എങ്കിൽ (i4 >= i2) --i4; എങ്കിൽ (i5 >= i1) --i5 ; എങ്കിൽ (i5 >= i2) --i5; // ഇപ്പോൾ കോമ്പിനേഷൻ്റെ സൂചിക 3 // 0 കൊണ്ട് ചേർക്കുക: // SUM for n = 0 by i3-1 കോമ്പിനേഷനുകൾ (2, 49-n) // = SUM m = 50-i3 ന് 49 (m * (m-1) / 2) ഓഫ്‌സെറ്റ് += (19600 - (((49-i3)*(50-i3)*(99-2*i3)) / 6 - ((49-i3)*(50-i3 )) / 2) / 2); // 1: // N = i3+1 മുതൽ i4-1 വരെ കോമ്പിനേഷനുകൾ (1, 49-n) ഓഫ്‌സെറ്റ് += ((( (48-i3)*(49-i3) - (49-i4)*(50-i4) / 2); // 2: // n = i4+1 മുതൽ i5-1 വരെ (1) ഓഫ്‌സെറ്റ് + = (i5 - i4 - 1); റിട്ടേൺ ഓഫ്‌സെറ്റ്; ) പൊതുവേ, ഞാൻ കോമ്പിനേറ്റോറിയൽ അൽഗോരിതങ്ങളെ ഇനിപ്പറയുന്ന ക്ലാസുകളായി വിഭജിക്കും:കോമ്പിനേഷൻ സൂചിക
ഓരോ കോമ്പിനേഷനും പെർമ്യൂട്ടേഷനും ക്രമീകരണവും മറ്റ് കോമ്പിനേറ്റോറിയൽ ഒബ്‌ജക്റ്റുകളും ഒരു സൂചികയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താം - ഈ അൽഗോരിതം വഴി ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ ദൃശ്യമാകുന്ന സംഖ്യയാണിത്.
"ഹെഡ്-ഓൺ" എന്ന് തിരയാനുള്ള ഒരു ഓപ്ഷൻ ഉണ്ട്. ഞങ്ങൾ കോമ്പിനേഷൻ കൌണ്ടർ ഓൺ ചെയ്യുക, മുകളിലുള്ള അൽഗോരിതം എടുത്ത് ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള ഓപ്ഷൻ എത്തുന്നതുവരെ എല്ലാം പരീക്ഷിക്കുക. ഈ ഓപ്ഷന് വളരെ ഉയർന്ന സമയ സങ്കീർണ്ണതയുണ്ട്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഈ ഓപ്ഷൻ നിരസിക്കും.
ഇൻപുട്ടിൽ i1, i2, i3 എന്നീ നമ്പറുകൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ അവയെ ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട് (മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ജനറേഷൻ അൽഗോരിതം തന്നെ എല്ലായ്പ്പോഴും ഓർഡർ ചെയ്ത രൂപത്തിൽ അവ നിർമ്മിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, എന്നിരുന്നാലും "കോമ്പിനേഷൻ" എന്ന ആശയം ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ക്രമത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു).
ഇതിനർത്ഥം i1 0, 1, 2 എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായ എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകളിലൂടെയും ഞങ്ങൾ കടന്നുപോയി എന്നാണ്.
i1 = 0 ന്, ഞങ്ങൾ C(2, 51) കോമ്പിനേഷനുകളിലൂടെ കടന്നുപോയി, കാരണം i1, i2 സൂചികകൾ 51 സംഖ്യകളിൽ 2-ൻ്റെ എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകളിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്നു.
i1 = 1 നായി ഞങ്ങൾ C(2, 50) കോമ്പിനേഷനുകളിലൂടെ കടന്നുപോയി.
i1 = 2 നായി ഞങ്ങൾ C(2, 49) കോമ്പിനേഷനുകളിലൂടെ കടന്നുപോയി.
മൊത്തത്തിൽ, ഞങ്ങൾ SUM വഴി കടന്നുപോയി (n = 0 മുതൽ n = i1-1 വരെ) C(2, 51-n).
i1 = 3-ന്, സൂചിക i2-ലൂടെ ഓടുമ്പോൾ നമ്മൾ കടന്നുപോയ ആ കോമ്പിനേഷനുകൾ പരിഗണിക്കാം (ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് i2 = i1+1 = 4-ൽ ആരംഭിക്കുന്നു).
i2 = 4, C(1, 47) കോമ്പിനേഷനുകൾ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, i2 = 5, C(1, 46) കോമ്പിനേഷനുകൾ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, i2 = 6, C(1, 45) കോമ്പിനേഷനുകൾ കടന്നുപോകുമ്പോൾ.
പൂർണ്ണമായ സാമ്യം അനുസരിച്ച്, i2 = 7 ന്, i3 സൂചികയിൽ പ്രവർത്തിച്ച കോമ്പിനേഷനുകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു.
നമുക്ക് പൊതുവായ ഫോർമുല ലഭിക്കും:
ആവശ്യമായ കോമ്പിനേഷൻ സൂചിക = SUM (n = 0 മുതൽ i1-1 വരെ) C(2, 51-n) + SUM (n = i1+1 മുതൽ i2-1 വരെ) C(1, 51-n) + SUM (ഇതിൽ നിന്ന് n = i2+1 മുതൽ i3-1 വരെ) C (0, 51-n).ഉപസെറ്റ് സൂചിക
കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഒബ്ജക്റ്റ് ഉണ്ട് - ഉപസെറ്റുകളായി വിഭജിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 52-എലമെൻ്റ് സെറ്റിനെ യഥാക്രമം 2, 3, 47 എന്നീ മൂന്ന് ഉപഗണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, ഇവിടെ ഓരോ ഉപഗണത്തിലും ഉള്ള മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമം അപ്രധാനമാണ്. (വഴിയിൽ, 52 ൽ 2 ൻ്റെ സംയോജനം യഥാക്രമം 2, 50 മൂലകങ്ങളുടെ രണ്ട് ഉപവിഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യമാണ്).
വീണ്ടും, അത്തരം ഓരോ പാർട്ടീഷനും അതിൻ്റേതായ സൂചികയുണ്ട്.
പാർട്ടീഷൻ സൂചിക കണ്ടെത്തുന്നതിന് കോമ്പിനേഷൻ സൂചിക കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഞങ്ങളുടെ അൽഗോരിതം പരിഷ്കരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.
"ബാഹ്യ കോമ്പിനേഷൻ" i1, i2 എന്നിവയിൽ സൂചികകളും i3, i4, i5 സൂചികകളും പരസ്പരം ക്രമീകരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, എന്നാൽ ആദ്യ രണ്ടിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായി.
ഒരു “നെസ്റ്റഡ് കോമ്പിനേഷനിൽ” ഞങ്ങൾ പ്രധാനമായും 50-എലമെൻ്റ് സെറ്റിലാണ് പ്രവർത്തിക്കുന്നത് എന്നതും കണക്കിലെടുക്കേണ്ടതാണ്, എന്നാൽ i3, i4, i5 സൂചികകൾ ഒരു പ്രത്യേക രീതിയിൽ “ഷിഫ്റ്റ്” ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, അതിനാൽ അവ 0 ൽ നിന്ന് മാറില്ല 51 വരെ, എന്നാൽ 0 മുതൽ 49 വരെ:
(അങ്ങനെ പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങളുടെ 52-എലമെൻ്റ് സെറ്റിൽ നിന്ന് i1, i2 സൂചികകൾ ഞങ്ങൾ വെട്ടിമാറ്റി, ദ്വാരങ്ങൾ അടയ്ക്കുന്നതിന് ശേഷിക്കുന്ന സെറ്റ് മാറ്റുന്നു, അതേസമയം i3-i5 സൂചികകൾ മാറ്റുന്നു).
ഓരോ "ബാഹ്യ" കോമ്പിനേഷനിലും നമുക്ക് കൃത്യമായി C (3, 50) "നെസ്റ്റഡ്" കോമ്പിനേഷനുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കണക്കിലെടുക്കണം.
അപ്പോൾ അൽഗോരിതം ഇനിപ്പറയുന്നതിലേക്ക് കുറയ്ക്കും:
COMBINATION_INDEX (i1, i2 of 52) * COMBINATION_NUMBER BY_3_OF_50 + COMBINATION_INDEX (സൂചിക ഷിഫ്റ്റിന് ശേഷം i3, i4, i5 50). അൽഗോരിതങ്ങൾ നിരന്തരമായ സങ്കീർണ്ണതയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു
ഉദാഹരണത്തിന്, i1 = 0 (ഞങ്ങൾ n = 0 മുതൽ -1 വരെയുള്ള തുക കണക്കാക്കുന്നു) അല്ലെങ്കിൽ i2 = 1 (ഞങ്ങൾ തുക 1 മുതൽ 0 വരെ കണക്കാക്കുന്നു) ഫോർമുലയിൽ ഒരു "പിശക്" സംഭവിക്കുന്നത് ഞാൻ ഉടൻ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ അനുബന്ധ തുക പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി എടുക്കണം, ഫലം ശരിയായിരിക്കും.
ഞങ്ങളുടെ അൽഗോരിതങ്ങളുടെ സമയ സങ്കീർണ്ണതയിലും ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കണം: അവയ്ക്ക് ലീനിയർ സങ്കീർണ്ണതയുണ്ട്, നിങ്ങൾ C എന്നത് സ്ഥിരമായ സമയമായി കണക്കാക്കുന്നുവെങ്കിൽ. ഇത് ഇതിനകം മൃഗശക്തിയേക്കാൾ വളരെ മികച്ചതാണ്.
എന്നാൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ 52) അൽഗോരിതം നിരന്തരമായ സങ്കീർണ്ണതയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ഒന്നും നമ്മെ തടയുന്നില്ല. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് പ്രയോഗിക്കുകയും എല്ലാ അളവുകളും വിശകലനപരമായി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യും.
ഉദാഹരണത്തിന്, കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം സി (2, കെ), നിങ്ങൾ അതിനെ ഒരു ഫോർമുല കെ രൂപത്തിൽ "വികസിപ്പിച്ചാൽ"! / ((K-2)! * 2!), 2nd ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദമായി കുറയ്ക്കുന്നു. നമുക്ക് ഇത് സം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഉള്ളതിനാൽ, നമുക്ക് സ്വാഭാവിക ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകളുടെ Nth ശക്തികളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും (വിക്കിപീഡിയ കാണുക) കൂടാതെ 3rd ഡിഗ്രിയുടെ ഒരൊറ്റ ബഹുപദം നേടുകയും ചെയ്യാം. ഇതിന് വ്യക്തമായും സ്ഥിരമായ സമയ സങ്കീർണ്ണതയുണ്ട്. (കൂടാതെ, സബ്ടൈറ്റിലിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ഞാൻ ഉദ്ധരിച്ച "പിശക്" ഒരു തരത്തിലും പ്രകടമാകുന്നില്ല; സൂത്രവാക്യം ശരിയാണ്).
ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു, ഇത് അടിസ്ഥാന സെറ്റിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത അളവിനായി. എന്നിരുന്നാലും, മെറ്റാപ്രോഗ്രാമിംഗിൻ്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് കംപൈലറിനെ "പഠിപ്പിക്കാൻ" കഴിയുമെന്ന് എനിക്ക് ഉറപ്പുണ്ട്, അതുവഴി ഇത് നിങ്ങൾക്കായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. പിൻവാക്ക്
എൻ്റെ പോക്കർ സിമുലേറ്ററിൽ (ടെക്സസ് ഹോൾഡീം), എൻ്റെ ഹാൻഡ് കാർഡുകളുടെയും (2 കഷണങ്ങൾ) എല്ലാ ഫ്ലോപ്പ് കാർഡുകളുടെയും (ടേബിളിലെ 3 കാർഡുകൾ) സാധ്യമായ എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകൾക്കുമായി വിജയ സാധ്യതകൾ മുൻകൂട്ടി കണക്കാക്കാനും സംഭരിക്കാനും ഞാൻ ആഗ്രഹിച്ചു. 52-സെറ്റ് 2, 3, 47 ഉപസെറ്റുകൾ.
കണക്കാക്കി സംരക്ഷിച്ചു.
എന്നാൽ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട കോമ്പിനേഷനായി ഒരു ഫയലിൽ നിന്ന് ഡാറ്റ വായിക്കാൻ സമയമായപ്പോൾ, വളരെക്കാലം എന്തെങ്കിലും കണക്കാക്കാനോ ഒരു ജിഗാബൈറ്റ് ഫയലിൽ തിരയാനോ ഞാൻ ശരിക്കും ആഗ്രഹിച്ചില്ല. ഇപ്പോൾ ഞാൻ ഫയലിലെ ഓഫ്‌സെറ്റ് നിർണ്ണയിക്കുകയും എനിക്ക് ആവശ്യമുള്ളത് നേരിട്ട് വായിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
പെർമ്യൂട്ടേഷനുകൾ, കോമ്പിനേഷനുകൾ, പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകൾ, സബ്‌സെറ്റുകൾ, ആവർത്തനങ്ങളുമായുള്ള കോമ്പിനേഷനുകൾ, ആവർത്തനങ്ങളുള്ള പ്ലേസ്‌മെൻ്റുകൾ എന്നിവയുൾപ്പെടെ എല്ലാ കോമ്പിനേറ്റോറിയൽ ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾക്കുമായി സംയോജിത അൽഗോരിതങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു റഫറൻസ് പുസ്തകം ഉണ്ടായിരിക്കുന്നത് രസകരമായിരിക്കും.